Demostrar que los grupos aditivos son isomorfos $(n\mathbb{Z}$ y $m\mathbb{Z}$ ) o no ( $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}$ )

Question

Cambié de curso de estudio y actualmente estoy en proceso de autoestudio para ponerme al día con las primeras semanas de la clase de álgebra lineal, por lo que todavía no estoy muy seguro de cómo demostrar las cosas.

Estoy atascado en las siguientes dos tareas del libro que uso para la conferencia. Intentaré resumir lo mejor posible ya que no está escrito en inglés. Tengo que demostrar que los siguientes grupos no son isomorfos:

$\left(\mathbb{Z}, +\right)$ y $\left(\mathbb{Q}, +\right)$

Mi idea es que el grupo de los números enteros es cíclico mientras que el de los números racionales no lo es. Así que probablemente podría demostrar de alguna manera en la línea que hay un número racional en $\mathbb{Z}$ lo que sería una contradicción.

También tengo que demostrar que los siguientes grupos son isomorfos:

$\left(n\mathbb{Z}, +\right)$ y $\left(m\mathbb{Z}, +\right)$

Estoy completamente perdido con esto. Probablemente podría demostrar de alguna manera que $n$ y $m$ se dividen entre sí y, por lo tanto, son idénticos, pero no tengo ni idea de cómo lo escribiría en el "lenguaje matemático" adecuado.

Creo que mi principal problema es que no consigo entender las definiciones de homomorfismos e isomorfismos que probablemente debería utilizar para esas tareas.

Agradezco cualquier ayuda.

EDIT: Gracias por la ayuda hasta ahora. He tratado durante horas de escribir algo parecido a una solución de aspecto matemático adecuado y envolver mi cabeza alrededor de todo, pero fracasó miserablemente hasta ahora.

Salud

Answer 1

Una pista:

1. Usted está en la primera pista en el primer problema.
2. Para el segundo problema, demuestre que ambos grupos son realmente isomorfos a $(\Bbb Z,+)$ . Es decir, ambos son grupos abelianos libres generados por un solo elemento.

Answer 2

Uno podría hacerlo como :

El grupo $(\mathbb Z,+)$ no es divisible, es decir, para $1\in\mathbb Z$ y $n\in\mathbb N$ hay no $y\in\mathbb Z$ tal que $ny=1$ . Pero el aditivo $\mathbb Q$ es divisible .

Answer 3

Para la primera pregunta, el truco es asume son efectivamente isomorfos, y construir entonces alguna contradicción. Si $h$ era un isomorfismo $(\mathbb{Z},+) \to (\mathbb{Q},+)$ , entonces tiene que mapear $1_\mathbb{Z} ($ es decir $1$ como elemento de $\mathbb{Z}$ ) a algún elemento $q \in \mathbb{Q}$ . Si $q = 0$ se obtiene una contradicción instantánea si se mira $h(1_\mathbb{Z}+1_\mathbb{Z})$ y el uso que se le puede dar a la aplicación de $h$ y la adición. Si $q \neq 0$ ¿Qué sería entonces la preimagen de $\frac{q}{2}$ ¿ser? Lo que tú elijas, $h^{-1}\left(\frac{q}{2} + \frac{q}{2}\right)$ se parece a los problemas...

Para la segunda pregunta, su idea es acertada. Sólo tienes que escribir el isomorfismo que propones explícitamente como una función de $(n\mathbb{Z})$ a $(m\mathbb{Z})$ y verificar todas las propiedades requeridas de un isomorfismo, es decir, uno a uno, $h(a+b)=h(a)+h(b)$ , $\ldots$ .

Answer 4

Una forma fácil de demostrar que $\mathbb{Q}$ no es cíclico es tomar cualquier racional $q=\frac{a}{b}$ con $\gcd(a,b)=1$ y encontrar un elemento que no sea un múltiplo entero del mismo. Tome un primo $p$ no dividir $b$ (que seguramente existe); luego decir que, para algunos $m\in\mathbb{Z}$ , $$ m\frac{a}{b}=\frac{1}{p} $$ significa que $$ pma=b, $$ que es imposible.

Dado que un homomorfismo de grupo $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ siempre satisface $$ f(m)=mf(1)\qquad(m\in\mathbb{Z}), $$ ningún homomorfismo $f$ puede ser sobreyectiva.

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Para la segunda pregunta, observa que el isomorfismo es reflexivo, simétrico y transitivo: $G\cong G$ ; si $G\cong G'$ entonces $G'\cong G$ ; si $G\cong G'$ y $G'\cong G''$ entonces $G\cong G''$ .

Ahora, si muestra $\mathbb{Z}\cong m\mathbb{Z}$ que es un caso particular de su afirmación (para $n=1$ ), has terminado.

Answer 5

La primera pregunta es correcta. Si puede demostrar que $\mathbb{Z}$ es cíclico mientras que $\mathbb{Q}$ no lo es, entonces has demostrado automáticamente que no son isomorfos.

Para la segunda pregunta, basta con mostrar un isomorfismo entre los dos grupos. Aquí tienes una pista. Defina un mapa $\varphi :m\mathbb{Z} \rightarrow n \mathbb{Z}$ que toma enteros en $m\mathbb{Z}$ y los envía a enteros en $n\mathbb{Z}$ . Sabemos que para cualquier $a\in m \mathbb{Z}$ tenemos $a = mk$ para algunos $k\in\mathbb{Z}$ . Dejemos que $\varphi(a) = b$ donde $b \in n\mathbb{Z}$ y $b = nk$ . Ahora sólo queda demostrar que este mapa es biyectivo y es un homomorfismo, es decir $\varphi(x+y) = \varphi(x)+\varphi(y)$ para todos $x, y \in m \mathbb{Z}$ .

Buena suerte.