Demostrando que los grupos aditivos son isomorfos $(n\mathbb{Z}$ y $m\mathbb{Z}$) o no ($\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}$)

Question

Cambié mi curso de estudio y actualmente estoy en el proceso de autoestudio para ponerme al día con las primeras semanas de mi clase de álgebra lineal, por eso todavía no tengo mucha confianza en cómo probar cosas.

Estoy atascado en las siguientes dos tareas del libro que uso para la clase. Trataré de resumir lo mejor que pueda ya que no está escrito en inglés. Debo probar que los siguientes grupos no son isomorfos:

$\left(\mathbb{Z}, +\right)$ y $\left(\mathbb{Q}, +\right)$

Mi idea es que el grupo de enteros es cíclico mientras que el de los números racionales no lo es. Así que probablemente podría demostrar de alguna manera que hay un número racional en $\mathbb{Z}$ lo cual sería una contradicción.

También debo mostrar que los siguientes grupos son isomorfos:

$\left(n\mathbb{Z}, +\right)$ y $\left(m\mathbb{Z}, +\right)$

Estoy completamente perdido con este. Probablemente podría demostrar de alguna manera que $n$ y $m$ se dividen entre sí y por lo tanto son idénticos pero no tengo idea de cómo escribir eso en "lenguaje matemático" adecuado.

Creo que mi principal problema es que no logro entender completamente las definiciones de homomorfismos e isomorfismos que probablemente debería utilizar para esas tareas.

Aprecio cualquier ayuda.

EDIT: Gracias por la ayuda hasta ahora. He estado intentando durante horas escribir algo que se parezca a una solución matemática adecuada y comprenderlo todo pero hasta ahora he fallado miserablemente.

Saludos

Answer 1

Pista:

1. Estás en la primera pista del primer problema.
2. Para el segundo problema, demuestra que ambos grupos son isomorfos a $(\Bbb Z,+)$. Es decir, ambos son grupos abelianos libres generados por un solo elemento.

Answer 2

Se podría hacer eso como:

El grupo $(\mathbb Z,+)$ no es divisible. es decir; para $1\in\mathbb Z$ y $n\in\mathbb N$ no existe ningún $y\in\mathbb Z$ tal que $ny=1$. Pero el grupo aditivo $\mathbb Q$ es divisible.

Answer 3

Para la primera pregunta, el truco es asumir que son isomórficos, y luego construir alguna contradicción. Si $h$ fuera un isomorfismo $(\mathbb{Z},+) \to (\mathbb{Q},+)$, entonces tiene que mapear $1_\mathbb{Z}$ (es decir, $1$ como un elemento de $\mathbb{Z}$) a algún elemento $q \in \mathbb{Q}$. Si $q = 0$, se obtiene una contradicción instantánea si se mira $h(1_\mathbb{Z}+1_\mathbb{Z})$ y se usa que se puede intercambiar la aplicación de $h$ y la suma. Si $q \neq 0$, ¿cuál sería entonces la preimagen de $\frac{q}{2}$? Sea cual sea la elección, $h^{-1}\left(\frac{q}{2} + \frac{q}{2}\right)$ huele a problemas...

Para la segunda pregunta, tu idea es perfecta. Simplemente escribe tu isomorfismo propuesto explícitamente como una función de $(n\mathbb{Z})$ a $(m\mathbb{Z})$, y verifica todas las propiedades requeridas de un isomorfismo, es decir, uno a uno, $h(a+b)=h(a)+h(b)$, $\ldots$.

Answer 4

Una forma fácil de mostrar que $\mathbb{Q}$ no es cíclico es tomar cualquier racional $q=\frac{a}{b}$, con $\gcd(a,b)=1$, y encontrar un elemento que no sea múltiplo entero de él. Tome un primo $p$ que no divida a $b$ (lo cual seguramente existe); entonces decir que, para algún $m\in\mathbb{Z}$, $$ m\frac{a}{b}=\frac{1}{p} $$ significa que $$ pma=b, $$ lo cual es imposible.

Dado que un homomorfismo de grupos $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ siempre satisface $$ f(m)=mf(1)\qquad(m\in\mathbb{Z}), $$ ningún homomorfismo $f$ puede ser sobreyectivo.

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Para la segunda pregunta, notar que la isomorfismo es reflexiva, simétrica y transitiva: $G\cong G$; si $G\cong G'$, entonces $G'\cong G$; si $G\cong G'$ y $G'\cong G''$, entonces $G\cong G''$.

Ahora, si muestras que $\mathbb{Z}\cong m\mathbb{Z}$, que es un caso particular de tu afirmación (para $n=1$), entonces has terminado.

Answer 5

Estás abordando la primera pregunta correctamente. Si puedes probar que $\mathbb{Z}$ es cíclico mientras que $\mathbb{Q}$ no lo es, entonces has demostrado automáticamente que no son isomorfos.

Para la segunda pregunta es suficiente con simplemente exhibir un isomorfismo entre los dos grupos. Aquí tienes una pista. Define un mapa $\varphi :m\mathbb{Z} \rightarrow n \mathbb{Z}$ que tome enteros en $m\mathbb{Z}$ y los envíe a enteros en $n\mathbb{Z}$. Sabemos que para cualquier $a\in m \mathbb{Z}$ tenemos $a = mk$ para algún $k\in\mathbb{Z}$. Sea $\varphi(a) = b$ donde $b \in n\mathbb{Z}$ y $b = nk$. Ahora solo queda mostrar que este mapa es biyectivo y es un homomorfismo, es decir, $\varphi(x+y) = \varphi(x)+\varphi(y)$ para todo $x, y \in m \mathbb{Z}$.

¡Buena suerte!