Atascado en simple prueba

Question

Demostrar que $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\cdots-\frac{1}{2009}+\frac{1}{2010}&lt\frac{3}{8}$

Oh mi, me siento vergüenza por no saber cómo resolver un problema elemental pero de verdad que estoy pegado en esto. Quiero decir - traté de agrupación de ellos (me refiero - estos pares con menos entre) para mostrar que el primer par de da $\frac{1}{6}$, y de allí es descendente, por lo que tiene que ser menos de $\frac{3}{8}$ pero no parece ser una buena idea después de todo. Así que traté de remodelación de la par-pensamiento y señaló que: $$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$$ which leads to pairing the initial sequence to the form of: $$\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{6\cdot7}+\cdots+\frac{1}{2008\cdot2009}+\frac{1}{2010}$$ pero aún así parece que se lleva a ninguna parte. ¿Cómo debo enfoque?

Answer 1

Puede estar familiarizado con el resultado de Leibniz en una serie alternada monótonamente decreciente (en valor absoluto): la suma parcial está por encima (o por debajo) de la suma, si el último término incluido fue positivo (o negativo). Eso nos da una pista. Calcule $$ \ frac12- \ frac13 + \ frac14- \ frac15 + \ frac16- \ frac17 + \ frac18 = \ frac {307} {840} \ approx0.365 & lt3 / 8. $$ Si no ha oído hablar de Leibniz, simplemente puede observar que$-1/9+1/10&lt0$,$-1/11+1/12&lt0$,$-1/13+1/14&lt0$,$\ldots$

Answer 2

Para un enfoque similar al de Jyrki, utilizamos el resultado de que la alternancia de armónicos de la serie converge a $\ln 2$. Vamos a restar uno a ambos lados de la desigualdad, a continuación, cambiar todas las señales para obtener $$1 - \dfrac{1}{2} +... + \dfrac{1}{2009} - \dfrac{1}{2010} > \dfrac{5}{8}$$and denote the left hand side of this new inequality by $(\#)$. Entonces $$ (\#) + \sum_{n = 2011}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2 \approx 0.6931$$

Por lo $$( \#) \approx 0.6931 - \sum_{n=2011}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$$

Que es mayor que $\dfrac{5}{8} = 0.625$ si podemos atado a la cola de esta suma infinita (como en los comentarios a Jyrki la respuesta). Se los dejo como ejercicio :)