Me gustaría hacer la siguiente pregunta:
¿Existe un grupo de $G$ tal que
- cada grupo finito puede ser incrustado en $G$, y
- cada apropiado subgrupo de $G$ es finito?
El ejemplo más cercano a esto que he visto es el grupo $S_{\omega}$, es decir, bijections de $\mathbb{N}$ la fijación de todos, pero un número finito de elementos. Sin embargo, este grupo contiene isomorfo copias de sí mismo como a su propio subgrupos (incluso continuum muchos - por cada $S \subseteq \mathbb{N}$ que no es cofinite, bijections de $S_{\omega}$ la fijación de todos los puntos en $S$ formar un grupo isomorfo a $S_{\omega}$).
Así que, obviamente, un grupo debe contener algunos subgrupo isomorfo a $S_n$ por cada $n$, pero no infinito ascendente de la cadena de estos. No estoy seguro de cómo incluso buscar algo como que (para ser honesto, me inclino a creer que un grupo no puede existir).
Yo también agradecería me señala hacia algunos infinito subgrupos de $S_{\omega}$ no isomorfo a $S_{\omega}$ (la más extraña, la mejor. : ) ).
Gracias de antemano por cualquier ayuda.
Edit: OK veo que incluso el $S_\omega$ está lejos de tener estas propiedades - uno puede, por ejemplo, tomar una arbitraria contables de la familia de grupos finitos $G_n$, y luego encontrar a $\bigoplus_{n<\omega}G_n$ como un subgrupo de la partición del conjunto de $\mathbb{N}=\bigcup_{n < \omega}M_n$ y darse cuenta de $G_n$ como un subgrupo de $S(M_n). $, por Lo que no son, de hecho, incluso una cantidad no numerable de hasta isomorfismo infinito subgrupos de $S_{\omega}$.
Edit2: La única idea que se me ocurrió es la siguiente: es evidente que tal grupo, suponiendo que existe, es una unión de toda su adecuada subgrupos, por lo que es un directo de límite (es decir, dirigida colimit) de algunos diagrama consiste en un conjunto de grupos finitos s.t. cada finito grupo es isomorfo a algunos de theose grupos. Encontrar el derecho "diagrama" podría resolver el problema (mostrando la colimit tiene las propiedades deseadas, o demostrando que si algún grupo no es necesariamente que uno, y la búsqueda de una adecuada infinito subgrupo). Sin embargo, no es claro para mí que morfismos en que se deben utilizar. Mi primera idea fue utilizar todas las posibles inyecciones (algo así como "cuando algunos de inyección existe, arreglar uno"), pero que obviosly no funciona - el límite resultante contendrá $S_{\omega}$ como un subgrupo. Así que tal vez, uno necesita usar menos inyecciones (que sospecho que haría el límite aún más grande) o más general de morfismos, que las inyecciones.
