Encuentre la cardinalidad de $S=\{(x,y,z) \in \Bbb R^3: x^2+y^2=4\}$

Question

Encuentre la cardinalidad de $S=\{(x,y,z) \in \Bbb R^3: x^2+y^2=4\}$ .

Sé que como $S\subseteq \Bbb R^3 \implies |S|\leq \mathfrak{c}$ .

Mi conjetura es que $|S|= \mathfrak c$ Creo que esto es cierto porque el conjunto describe un cilindro en $\Bbb R^3$ y si (tened paciencia) desplegáis este cilindro, obtendréis una especie de rectángulo ( $\subset$ de algún plano) que parece ser equitativo a un rectángulo cerrado de $\Bbb R^2$ .

No estoy seguro de haber dejado clara mi idea. ¿Hay alguna forma de demostrarlo?

Answer 1

La restricción del mapa de identidad en $\Bbb{R}^3$ a $S$ muestra da una inyección $S\to\Bbb{R}^3$ así que $|S|\le |\Bbb{R}^3|=|\Bbb{R}|$

A continuación, puede crear una suryección $S\to \Bbb{R}$ definido por $(x,y,z)\mapsto z$ lo que demuestra que $|S|\ge \Bbb{R}$ .

Así, $|S|=|\Bbb{R}|$