Ejercicio sobre la integración de una función en dos variables

Question

Para qué valores de$a,b > 0$ es la función

$f : (0, \infty)$ x$\mathbb{R} \to \mathbb{R}: (x,y) \mapsto \dfrac{1}{x^a(1+x^2+y^2)^b}$ integrable?

He intentado realizar para cambiar esta función a una función en coordenadas polares pero luego obtengo un$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \dfrac{1}{cos^a(\theta)}d\theta$ que no es integrable para ningún$a > 0$.

¿Alguien tiene una idea de cómo puedo resolver este problema con otro método o sustitución?

Answer 1

Usted no ha seguido este correctamente pero cambiando a coordenadas polares.

Puesto que el integrando es no negativa en la que podemos aplicar del teorema de Tonelli y evaluar como integrales iteradas en cualquier orden, aunque la integral puede ser infinito. El cambio a coordenadas polares, esto se convierte en

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{d \theta}{(\cos \theta)^a}\int_0^\infty \frac{dr}{r^{a-1}(1 + r^2)^b}.$$

Desde

$$\int_{0}^{\pi/2} \frac{d \theta}{(\cos \theta)^a} = \int_{-\pi/2}^{0} \frac{d \theta}{(\cos \theta)^a} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d \theta}{(\sin \theta)^a}, $$

y $\sin \theta \sim \theta$$ \theta \to 0$, $\theta-$integral converge si y sólo si $a <1$.

Nota, por ejemplo, que el $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{ d\theta}{\sqrt{\theta}} = 2 \sqrt{\pi/2}$ es convergente.

Para el $r-$integral considerar que el integrando es $\sim r ^{1-a}$ $r \to 0$ $\sim r^{1-a - 2b}$ $r \to \infty$ a determinar las condiciones para la convergencia/divergencia.