Terry Tao, Russells Paradoja, la definición de un conjunto

Question

En su libro "Análisis de la 1", de Terry Tao escribe (consulte la página 39):

Para resumir hasta ahora, entre todos los objetos estudiados en mathe- matics, algunos de los objetos pasan a ser de conjuntos; y si x es un objeto y a es un conjunto, entonces x ∈ A es verdadero o x ∈ A es falsa. (Si es no un conjunto, salimos de la declaración de la x ∈ A indefinido; por ejemplo, consideramos que la declaración de 3 ∈ 4 a no ser verdadera o falsa, pero simplemente no tiene sentido, ya que 4 no es un juego.)

Pero cuando se habla de la Paradoja de Russell, que él define en la página 53 de un conjunto

Ω= {x : x es un conjunto y x ∉ x}.

Así que él define que un objeto cualquiera x es un elemento de Ω si y sólo si x es un conjunto y x ∉ x. Pero esta definición no tiene ningún sentido, ya que, según su definición, tendríamos 4 ∈ Ω si y sólo si 4 es un conjunto y 4 ∉ 4. Pero a los 4 ∉ 4 es sin sentido, como él dice, y por lo tanto "4 es un conjunto y 4 ∉ 4" es de sentido así.

PREGUNTA:

¿Cómo solucionar este fallo?

Nota. Entiendo Paradoja de Russell. Pero la definición de

Ω= {x : x es un conjunto y x ∉ x}.

no me satisface formalmente. Mi pregunta es exactamente cómo hacerlo formalmente trabajo.

Answer 1

De hecho, me hizo esta pregunta Terry Tao mismo. Hace media hora, recibí la siguiente respuesta por correo electrónico:

Una conjunción como "a y B" es falsa cuando Una es falsa, incluso si B es indefinido. Por ejemplo, la afirmación "x es distinto de cero y y = 1/x" es falsa cuando x=0, aunque 1/0 es indefinido. (Similar al concepto de evaluación diferida https://en.wikipedia.org/wiki/Lazy_evaluationen la programación, no es necesario evaluar todas las entradas para una declaración si uno ya se puede determinar la verdad de que la declaración de la parte que uno es capaz de evaluar.)

Mejor,

Terry

Answer 2

Décadas atrás, en la década de 1970, surgió en el equipo de programación de la cuestión de las condiciones de "a y B", donde B sólo tiene sentido si es cierto. B podría no tener sentido, por ejemplo, porque si Una es falsa, informática B consistió en la división por cero. Los compiladores eran libres para calcular B de primera o para calcular B, siempre y programas de computadora que sería después del accidente. Los creadores del lenguaje de programación C inventó el símbolo &&, de modo que A && B, significaba "a y B, donde B sólo se evalúa si Un primer lugar se encuentra para ser verdad."

Los matemáticos no son tan tontos y irreflexivo como los programas de ordenador, por lo que dejar de escribir "a y B" incluso si B sólo tiene sentido cuando Una es verdadera. Que es lo que Tao parece haber hecho.

Answer 3

Este es un asunto de semántica de la conectivo lógico "y". EN los lenguajes de computador, por ejemplo, $P \mbox{ and } Q$ es evaluado y definido de tal forma que la evaluación de $P$ tiene que ser significativo, pero si $P$ evalúa a "false", a continuación, que es el fin de la materia y de la $Q$ nunca se evalúa.

En ese sentido, la frase "x es un conjunto y $x \not\in x$" está bien si x no es un conjunto, debido a que la segunda cláusula nunca se considera.

Que es un poco insatisfactorio (ya que uno quisiera "y" para ser conmutativa, por lo que uno se siente tentado a modificar las definiciones. Por ejemplo, uno puede decir que el $x \in x$ es significativa para todos los objetos, pero sólo puede ser verdad si $x$ pasa a ser un conjunto. Pero si insisten en que un conjunto puede ser definido como una colección de todos los objetos que tienen alguna propiedad lógica, entonces se meten en problemas (la paradoja).

Es por eso que la lógica exige un poco menos flexible panel de axiomas de cómo se puede formar un conjunto. Hay muchas opciones para el axioma de sustitución de la problemática.

Como para considerar este como un "error" por el Tao, que es un poco duro -- el razonamiento que, inevitablemente, conduce a una contradicción, por lo que el hecho de que un paso se presenta un poco menos de fromally parece ser irrelevante.

Answer 4

$\Omega$ debe consistir de todos los objetos para que su definición de la propiedad "$x$ es un conjunto y $x\notin x$" es cierto. De hecho, esta propiedad está bien definida para todos los objetos. Si $x$ no es un conjunto, entonces es falsa, aunque no podemos determinar si $x$ que contiene en sí, porque la definición de la propiedad es una conjunción: se convierte en falso, tan pronto como sea la mitad de lo que es falso. Si $x$ es un conjunto, entonces no hay ningún problema.

Con diferentes conjunciones de declaraciones que no siempre tienen valores de verdad, podría ejecutar en problemas. Ya que no podemos determinar a los miembros de $\Omega'=\{x:x\text{ is not a set and }x\notin x\}$. Pero todavía podemos decir, por ejemplo, que no son conjuntos de elementos de $\Omega'$!

En la práctica, es muy raro que de la que preocuparse, sin definir propiedades como estas: en parte para evitar tales paradojas, tendemos a pedir sólo una propiedad de un objeto una vez que hemos asumido que el objeto es de un tipo para el cual la propiedad está definida.

Answer 5

Esto depende de cómo interpretar la lógica de los símbolos con respecto a los valores no definidos. Si usted interpretar $\mathrm{FALSE}\land\mathrm{UNDEFINED}$ como falsa (lo cual es razonable), entonces no hay ningún problema en absoluto. Si, en lugar de interpretar $\mathrm{FALSE}\land\mathrm{UNDEFINED}$ como indefinido, puede resolver el problema mediante el uso restringido algo de comprensión, así: $$ \{x\in \mathbf{Establece}:x\noen x\}. $$

Lado la diatriba: tenga en cuenta que la mayoría de las veces, cuando se hace real en matemáticas, nos dejan un montón de cosas ambiguas. Es probable que claro en el contexto que en el texto que está leyendo, la conjunción $\mathrm{FALSE}\land\mathrm{UNDEFINED}$ es simplemente falsa (porque, como usted ha notado, la otra posible lectura no tiene sentido).

Matemáticos de la escritura no es leer por mindless programas de ordenador (a excepción de cuando es, pero que es distinta de la corriente principal de las matemáticas), que es leído por la gente que puede y no inferir del contexto de lo que se quiere decir, por lo que nos puede y no se desvían de la formalidad. Apenas podíamos hacer nada (y menos aún verificado por la gente, y no los programas de ordenador!).

Les insto a que tome una mirada en Principia Mathematica. Creo que debería ser suficiente para convencerte de que el estricto formalismo no es la manera correcta de hacer (o de pensar?) matemáticas. Es importante tener algunas definiciones formales para el uso (aunque sin duda es importante tener algunos informal de ideas en todo mentira), pero no hay ninguna razón por la que explican todo todo el tiempo.