Evaluar

Question

Evalúa la siguiente suma:$$\dfrac{1}{1!+2!+3!}+\dfrac{1}{2!+3!+4!}+\dots + \dfrac{1}{2016!+2017!+2018!}$ $

Intentaba reescribir el término general como:$$\frac{1}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=\frac{1}{n!(n+2)^2}$ $

Sin embargo, esto no dio ninguna mejora esencial.

Answer 1

Usando la función integral exponencial $\text{Ei}$, se puede mostrar que$$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+2}}{n!(n+2)^2}=e^x-\frac14x^2-1+\ln x-\text{Ei}(x)+\gamma$$ hence $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!(n+2)^2}=e-\frac54-\text{Ei}(1)+\gamma$$ Since there is no expression of $ \ text {Ei} (1) $ excepto como la suma de un serie bastante relacionada con las series infinitas correspondientes a las series en la pregunta, esto muestra principalmente que la pregunta no tiene una respuesta satisfactoria.

Answer 2

ps

Donde$$\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{n! + (n+1)! + (n+2)!} = -\text{Ei}(1)+\gamma +e-1$ es la función especial Integral exponencial, y$Ei$ es la constante Euler-Mascheroni.

Más generalmente tenemos:

ps

ps

Donde se enfrenta a la función especial Hipergeométrica.