Es un número irracional todavía irracional cuando aplicamos algunos de asignación para su representación decimal?

Question

Esta es una pregunta que se me ocurrió en la escuela secundaria, pero todavía no ha encontrado un digno prueba.

Deje $f(n)=0$ si $n$ es aún, y $f(n)=1$ si $n$ es impar.

Vamos a la representación decimal de $\sqrt2$ ser

$$\sqrt2=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{d_i}{10^i}$$

y, $$a=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{f(d_i)}{10^i}$$

Demostrar que $a$ es irracional.

He tratado de usar la idea de que todos los números racionales es finita o periódica representación decimal, pero que no parece ayudar mucho.

También creo que esto es sólo un caso especial de un problema más general como la forma de $f(n)$ puede ser más complicado, y la base de la necesidad de no ser $10$.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

No se sabe lo suficiente acerca de la representación decimal de $\sqrt{2}$ a ser capaz de probar este. Por lo que sabemos, podría ser que para suficientemente grande $i$, $d_i$ es siempre igual. Que es casi seguro falsas, pero en el estado actual de la técnica no hay manera de refutar.

Por otro lado, existen números irracionales (una cantidad no numerable de ellos), cuya base $10$ dígitos son todas iguales.