La solución de $ y'' - y' = -3$ a través de coeficientes indeterminados.

Question

Me topé con un problema a la hora de resolver esta ODA. El método de coeficientes indeterminados decir que me puede suponer la solución en la forma $y_p = k$. Entonces: $(k)''-(k)'=-3 \Rightarrow 0=3$, lo cual es absurdo. Cuando supongo que la solución en la forma $kx$ funciona, y me parece que la solución particular $3x$, pero ¿por qué tengo que suponga una solución particular en un grado 1 si el lado derecho de la educación a distancia es de grado 0?

Answer 1

Usted ha tropezado en una de las principales dificultades en la resolución no homogéneos de ecuaciones usando el método de coeficientes indeterminados.

La ecuación homogénea $y''-y' = 0$ tiene las soluciones $y_1 = A$ $y_2 = B\mathrm{e}^t$ donde $A$ $B$ son constantes.

Esto implica el uso de un cálculo para una solución particular de una constante no puede trabajar, ya que estaría adivinando una solución que ya es parte de la solución homogénea!

Para solucionar esto, debemos multiplicar nuestros supongo que por la función más sencilla que hará que nuestra guesss linealmente independientes, con nuestros dos soluciones homogéneas, es decir,$x$.

Así que tu supongo que debe ser $y_p=Cx$. En general, siempre que su elección inicial de la forma de $y_p$ tiene algún término en común con la solución homogénea, entonces usted debe alterar por la multiplicación de su elección inicial de $y_p$$x$, tantas veces como sea necesario, pero no más de lo necesario.

Como nota general, siempre se quiere resolver la ecuación homogénea primero para comprobar si este tipo de cosas va a ser un problema.

Answer 2

Puede utilizar el método general

o simplemente puede integrar de esta manera:

$$y''-y'=-3$$ $$y'-y=-3x+K$$ $$e^{-x}y'-e^{-x}y=(-3x+K)e^{-x}$$ $$e^{-x}y=\int(-3x+K)e^{-x}dx$$ $$y(x)=K_1+K_2e^{x}-3e^x\int xe^{-x}dx$$ $$y(x)=K_1+K_2e^{x}+3x$$