Deje $J_p$ ser el grupo aditivo de $p$-ádico enteros para una prima fija $p$. Me gustaría saber si la estructura de su homomórfica imágenes que se conoce. En particular, si $J_p/N$ es una imagen homomórfica con finito exponente, es $J_p/N$ también finito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La estructura de cocientes de a $\mathbf{Z}_p$ (como resumen de grupo) es sorprendentemente restringido:
1) uno ha $\mathbf{Z}_p$ sí
2) cada apropiado cociente $\mathbf{Z}_p/H$ descomponen canónicamente como producto directo de $T\times A$ donde $T$ es su torsión subgrupo, que es cíclico de $p$-el poder de la orden, y su divisible subgrupo $A$. Cada divisible grupo abelian $A$ de cardenal $\le 2^{\aleph_0}$ puede ser obtenida de esta manera. $T$ es simplemente la Hausdorff cociente, es decir, el cociente por el cierre de $H$. Tenemos $A=0$ $\Leftrightarrow$ $H$ se cierra $\Leftrightarrow$ $H$ está abierto.
Un corolario es que la respuesta a tu segunda pregunta: la única cocientes de finito exponente son las finito.
Para mostrar esto, empieza con la observación de que para cada primer $\ell\neq p$, $\mathbf{Z}_p$ es $\ell$-divisible (multiplicación por $\ell$ es surjective), y este pasa a sus cocientes.
Empezar ahora al $H$ es densa. Desde $p\mathbf{Z}_p$ está abierto, tenemos $p\mathbf{Z}_p+H=\mathbf{Z}_p$. Esto significa que $p(\mathbf{Z}_p/H)=\mathbf{Z}_p/H$. Por lo tanto $\mathbf{Z}_p/H$ $\ell$- divisible por cada prime $\ell$, y por lo tanto divisible. La estructura de divisible abelian grupos es simple: una suma directa de indecomposable, y el indecomposable son $\mathbf{Q}$ y el cuasi-cíclico (o Prüfer) grupos de $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}_{(p)}$. En particular, los divisible abelian grupos de cardenal $\le\kappa$, para cualquier infinita cardenal $\kappa$, son los cocientes de $\mathbf{Q}^{(\kappa)}$ $\mathbf{Q}$- espacio vectorial de dimensión $\kappa$. Ahora $\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}$ torsiones, divisible del cardenal $2^{\aleph_0}$, es isomorfo a $\mathbf{Q}^{(2^{\aleph_0})}$. Así que obtener todos los demás como cocientes.
Al $H$ no es necesariamente densa (pero no cero), $\mathbf{Z}_p/H$ tiene el subgrupo de índice finito $\bar{H}/H$, que es divisible. Ya que cada divisible subgrupo de un grupo abelian es un sumando directo, podemos obtener la descomposición. Aquí el factor directo es el Hausdorff cociente, que es cíclico de $p$-el poder de la orden.
