En Euler papel "De Fractionibus Continuis Dissertatio" (Traducción al inglés) que demuestre que la constante de $e\approx 2.71828$ es irracional.1 Un paso en la prueba me tiró un bucle, sin embargo. En el medio del párrafo 29, Euler resuelve el ODE
$$ a\,\mathrm{d}q+q^2\,\mathrm{d}p=\mathrm{d}p $$
reordenando e integrando para obtener
$$\begin{align} \frac{a}{1-q^2}\mathrm{d}q&=\mathrm{d}p\\ \frac{a}{2} \log\left(\frac{1+q}{1-q}\right)&=p+C. \end{align}$$
Tan lejos, tan bueno. Pero ahora Euler dice (citando Wyman traducción) "la constante debe ser determinado a partir de esta ecuación mediante el establecimiento $q=\infty$ al $p=0$. Por tanto, ahí sigue \begin{equation} \frac a2\log\left(\frac{q+1}{q-1}\right)=p." \end{equation}
Esta es la parte que me siento espeluznante acerca de.
Mi interpretación de esto es que cuando elegimos la condición inicial $q=\infty$$p=0$, obtenemos $C=\frac a2\log(-1)$, por lo que
$$\begin{align} \frac{a}{2} \log\left(\frac{1+q}{1-q}\right)&=p+\frac a2\log(-1)\\ \frac{a}{2} \left(\log\left(\frac{1+q}{1-q}\right)+\log(-1)\right)&=p\\ \frac{a}{2} \log\left(\frac{1+q}{1-q}(-1)\right)&=p\\ \frac{a}{2} \log\left(\frac{q+1}{q-1}\right)&=p. \end{align}$$ Esta interpretación deja más que un poco que desear. Para una cosa, $\log(-1)$ que no tiene sentido exclusivamente en un contexto real, pero si nos decidimos a trabajar en $\mathbb{C}$, entonces no podemos utilizar libremente la suma de los productos de la regla \begin{equation} \log(zw)=\log(z)+\log(w). \end{equation}
¿Cómo debo entender este paso de Euler de la prueba?
1) Ed Sandifer afirma que esta es la primera rigurosa prueba de que $e$ es irracional (el Enlace. Tenga en cuenta que los enlaces PDF no se muestran correctamente en los dos navegadores que he probado, pero estaba bien cuando he descargado.)
