Si ya he conocido a un espacio topológico $N$ es homeomórficos un buen colector $M$ entonces será un suave colector? El atlas de las $N$ es la preimagen de el atlas de las $M$ y las coordenadas del mapa es la composición de homeomorphism compuestos de las coordenadas del mapa?
Respuestas
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Lijo
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118
Permítanme hacer hincapié en algo que tal vez no es fácilmente evidente en las otras respuestas. "Suave", no es algo que un espacio topológico es. Usted no puede formalmente decir "este espacio topológico es un suave colector." No es una propiedad de un espacio topológico. Es extra estructura que agregar en la parte superior del espacio ya existente.
De hecho, usted tiene que elegir un atlas de tal manera que todas las coordenadas de los mapas de cambio son lisas. Si usted elige un atlas al azar, es probable que no va a ser suave, incluso si usted sabe de otra manera que el espacio es homeomórficos un buen colector.
Sin embargo, hay una propiedad aquí: puede el espacio atribuir un suave colector de estructura? Que es posible una propiedad, es una pregunta de sí/no. En este caso la respuesta es ¡sí! Como la otra respuesta señala, puede utilizar el homeomorphism en una forma llamada de transporte de estructura para elegir un atlas que sabe que va a ser suave. Pero puede haber otros! Por ejemplo, el $7$-esfera $S^7$ ha famosa diferentes, no equivalente suave estructuras (los otros que la estándar son llamados exóticos).
Por lo tanto, es importante distinguir entre la propiedad y la estructura. Cuando te pregunte "¿Es este el espacio liso del colector?" está implícitamente diciendo que "ser suave múltiple" es una propiedad, que no lo es. Y en este caso en particular puede ayudar a aclarar la pregunta: cuando usted se pregunta "¿puede este espacio se convirtió en un suave múltiple", a continuación, puede ver inmediatamente que usted necesita para añadir algunas cosas en la parte superior de lo que ya tenemos, es decir, un atlas. No se puede mirar en el espacio y pregúntate a ti mismo "es esta suave" en la misma forma en que se mira en un coche y preguntar: "este es rojo". Y puesto que usted ya sabe lo que tiene que hacer, es ciertamente más fácil para hacerlo realidad. (Ver también esta otra respuesta mía o este nLab artículo.)
Martin
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2000
Sí, puede transportar la estructura; ver jabo la respuesta. Sin embargo, la suave estructura de inducir de esta manera no puede ser natural. Tengo en mente el ejemplo de una plaza en $\mathbb R^2$. La plaza es homeomórficos a un círculo, que es un buen colector. Sin embargo, la plaza no es un suave submanifold de $\mathbb R^2$, debido a que tiene las esquinas.
Por lo tanto, la suave estructura de importar desde el círculo no es la natural, que espera que en los subconjuntos de a $\mathbb R^2$.
Permítanme ilustrar el punto principal con un juguete modelo de álgebra lineal. Considere el espacio vectorial $(\mathbb R^2, +, \cdot )$. Uno se puede preguntar: ¿existe un vector de estructura de espacio en
$$A=\left\{ (x, y)\in \mathbb R^2\ |\ x=1\right\},$$
que es un subconjunto de a $\mathbb R^2$? La respuesta es afirmativa, porque el mapa
$$
\phi\colon a\to \mathbb R,\qquad \phi(x, y)=y, $$
es un bijection, por lo que puede transportar el espacio vectorial estructura de $\mathbb R$ en $A$.$^{[1]}$
Sin embargo, una forma más natural, la pregunta sería si $A$ es un subespacio vectorial de $\mathbb R^2$. Y esto no es cierto, como usted seguramente sabe.
Resumiendo, la estructura que transporta en $A$ es completamente ajena a la estructura del espacio más grande $\mathbb R^2$, y de este modo es menos probable que sea útil. Este es un hecho general: si las estructuras de transporte, usted podría terminar con algo loco y potencialmente inútiles.
[1] Esto significa que si $(x, y), (x',y')\in A$ puede definir $$(x,y)+_\phi(x', y')=\phi^{-1}(y+y'),$$ y si $\lambda\in \mathbb R$ puede definir $$\lambda\bullet_\phi(x, y)=\phi^{-1}(\lambda y)$$ y $(A, +_\phi, \bullet_\phi)$ es un espacio vectorial.
jabo
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116
Seguro que esto funciona y a veces es llamado el transporte de la estructura.
