¿Si un conjunto compacto está cubierto por una Unión finita de bolas abiertas del mismo radios, podemos siempre obtenemos un menor radio?

Question

Esta pregunta parece obvia, pero no estoy seguro de mi prueba.

Si un conjunto compacto $V\subset \mathbb{R^n}$ está cubierto por una unión finita de abiertos bolas de común radios $C(r):=\bigcup_{i=1}^m B(c_i,r)$, entonces es cierto que existe $0<s<r$ tal que $V\subseteq C(s)$ así? Los centros son fijos.

Creo que esta declaración es verdadera y esta es mi intento de demostrarlo:

Cada punto de $v\in V$ es un punto interior de al menos una bola (suponga que su índice es $j_v$), es decir, existe $\varepsilon_v>0$ tal que $B(v,\varepsilon_v)\subseteq B(c_{j_v},r)$, lo $v\in B(c_{j_v},r-\varepsilon_v)$. Vamos a considerar sólo el mayor $\varepsilon_v$ tal que esto tiene. A continuación, la definición de $\varepsilon:=\inf\{\varepsilon_v\mid v\in V\}$ $s=r-\varepsilon$ obtenemos $V\subseteq C(s)$.

Pero, ¿por qué es $\varepsilon$ no cero? Pensé que teniendo en cuenta que el mayor $\varepsilon_v$ fue importante, pero todavía no podía convencerme a mi mismo.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Reemplazar cada balón $B_i$ radio $r$ en la cubierta de la unión concéntricos abrir bolas de radios estrictamente menor que $r$. Usted obtener un infinito cubierta de $V$. Por compacidad existe un número finito de subcover. Por construcción, los radios son más pequeñas que antes. Finalmente elegimos el máximo radio (para todos los de el un número finito de bolas), que todavía es menor que $r$.

Answer 2

Deje $X$ denota el conjunto de los centros: $X = \{c_1,\ldots,c_m\}$.

La función de $\phi(x) = \mathop{\rm dist} (x,X)$ es continua en a $\mathbb R^n$ y alcanza un valor máximo en $V$ porque $V$ es compacto.

Tenga en cuenta que si $x \in V$, entonces, por definición,$\phi(x) < r$. Lo máximo que se llega a debe ser menor que $r$.

Elija $s$ a mentir entre el máximo y $r$.