Proceso de Poisson de los clientes de la tienda

Question

Las personas llegan a alguna tienda como proceso de Poisson de tasa de $N$. Hay $N$ corredores en la tienda y de cada cliente elige uno al azar, de forma independiente de los otros clientes. Ahora vamos a $X_t^N$ la proporción de los corredores que permanecen vacías en el momento $t$ $T^N$ el tiempo hasta la mitad de los corredores de tener al menos un cliente, entonces se cumple que $X_t^N\rightarrow e^{-t}, T^N\rightarrow \log 2$ $N\rightarrow \infty$ en la probabilidad.

Así empecé paso por paso. Deje $X$ ser la RV que describe el número de clientes a los que llegaron, entonces sabemos $P(X=k)=\frac{N^k e^{-N}}{N!}$. Yo denotar cada cliente con un número para $P$(cliente que escoge a algunos corredor)$=\frac{1}{N}$. ¿Cómo puedo seguir?

Answer 1

Lo que sigue puede ser apretado, pero esencialmente de la posición es que con $N$ corredores, y una tasa de $N$, cada corredor está lleno de forma independiente con una tasa de $1$, que no cambia con $N$.

Así que en el momento $t$, la probabilidad de que un individuo pasillo está vacío es$e^{-t}$, por lo que la probabilidad de que la proporción $\frac{k}{N}$ de los pasillos están vacíos es ${N \choose k}e^{-kt}(1-e^{-t})^{N-k}$. El número esperado de pasillos vacíos es $Ne^{-t}$ y la proporción esperada de los pasillos vacíos es $e^{-t}$. La ley de los grandes números dice que como $N$ aumenta sin límite, la proporción de los pasillos vacíos converge sobre sus expectativas, es decir, a $e^{-t}$.

La solución de $e^{-t} = \frac12$ da $t= \log_e 2$, por lo tanto la mediana de tiempo en el que un determinado corredor está lleno y el límite de los tiempos, cuando la mitad de los pasillos están llenos como el número de corredores aumenta se $\log_e 2$. Usted podría haber logrado este resultado sin el resultado anterior, ya que la muestra de la mediana converge en la población de mediana como el tamaño de la muestra aumenta.