EDIT: Para la nueva versión de la pregunta, la respuesta es no: es un buen ejercicio demostrar que $V_\omega$ la clase de los conjuntos hereditariamente finitos, es un contraejemplo. Tenga en cuenta que, aunque por supuesto existe una clase en $V_\omega$ con las propiedades deseadas, a saber, $\omega$ no existe tal configure . Y se trata de una distinción importante, ya que la versión de la clase de la pregunta tiene una serie de sutilezas; véase mi respuesta original, que está debajo del pliegue.
Por cierto, ZF-AOI es equiconsistente con PA (de primer orden) . PA demuestra que PA no tiene modelo finito; a grandes rasgos, esto significa que los modelos de ZF-AOI que "proceden" de modelos de PA (esencialmente, que satisfacen $\neg AOI$ - en particular $V_\omega$ "viene de" $\mathbb{N}$ sí mismo) no tienen un conjunto inductivo.
Como suele ocurrir con este tipo de preguntas, la respuesta depende de lo que se quiera decir exactamente.
Aquí hay algo que es cierto:
Si $M$ es un modelo de ZF-AOI, entonces $FinOrd^M$ - el conjunto (clase, en cuanto a $M$ pero establecido externamente) de $M$ -finitos ordinales es un modelo de primer orden $PA$ (con $+, \times$ definido como es habitual en este contexto).
Ahora, sospecho que estás realmente interesado en de segundo orden PA, que denotaré " $PA_2$ ". Pero esto produce algunas sutilezas. A saber, la AP de segundo orden sólo tiene sentido en un modelo de teoría de conjuntos . Uno podría responder instintivamente: "Bueno, mira $M$ versión de $PA_2$ !" Pero hay un problema con eso - recuerde que $FinOrd^M$ es (a priori) un clase en $M$ en lugar de un conjunto. Así pues, cuando preguntamos $FinOrd^M$ satsisfy $PA_2^M$ ?", lo que realmente queremos decir es "¿Tiene $FinOrd^M$ satisfacen la "versión de clase" de $PA_2^M$ ?".
Es decir, creo que la forma correcta de plantear la pregunta a la que quieres llegar es la siguiente:
- Sea $M\models ZF-AOI$ . Entonces, ¿es necesariamente cierto que, para todas las fórmulas $\varphi(x, \overline{y})$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos y todos los parámetros $\overline{a}\in M$ tenemos $$M\models \varphi(0, \overline{a})\wedge \forall x\in FinOrd[\varphi(x, \overline{a})\implies \varphi(x+1, \overline{a})]\implies \forall x\in FinOrd(\varphi(x,\overline{a}))?$$
(La cuestión es que las clases de la forma " $\{x\in FinOrd^M: M\models\varphi(x,\overline{a})\}$ "representan todos los sub "conjuntos" de $FinOrd^M$ que $M$ pueden "ver", y por lo tanto son los que tiene sentido consultar con respecto a la satisfacción de la versión correcta de $PA_2$ .
La respuesta a esta pregunta es sí ya que ZF-AOI demuestra que los ordinales están bien ordenados y que todo ordinal finito tiene un predecesor.
Sin embargo, hay un par de advertencias (para simplificar, asumo que el $M$ 's por debajo de satisfacer $\neg$ AOI):
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En primer lugar, tenga en cuenta que mientras $M$ puede expresar " $FinOrd\models \varphi$ " para un específico (de primer orden en el lenguaje de la teoría de conjuntos, en particular, sin cuantificación sobre clases) sentencia $\varphi$ , $M$ no puede expresar " $FinOrd\models\Gamma$ " para $\Gamma$ a configure de frases. Así que en cierto sentido, $M$ no conozca que $FinOrd^M$ es un modelo del $M$ -clase-versión de $PA_2$ .
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En segundo lugar, si $\varphi$ es un no estándar oración de primer orden en $M$ - es decir, un ordinal finito no estándar en $M$ que $M$ piensa es el número de Goedel de una frase - entonces $M$ no puede expresar " $FinOrd\models\varphi$ ¡"! Esto no es realmente un problema aquí, pero vale la pena tenerlo en cuenta.
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Por último, vale la pena señalar que ZF-AOI no demuestra el Teorema de Completitud - en particular, un modelo de ZF-AOI no puede contener un configure modelo de AP de primer orden, ¡aunque piense que esa teoría es consistente! ( $V_\omega$ es un ejemplo de ello).
