Valor mínimo de los cuadrados recíprocos

Question

Estoy un poco atascado en una pregunta. La pregunta es : dada: $x + y = 1$ , $x$ y $y$ ambos son números positivos. Cuál será el valor mínimo de: $$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + \left(y+\frac{1}{y}\right) ^2$$ Sé que colocar $x = y$ dará la solución adecuada. ¿Hay alguna otra solución?

Answer 1

$x+y=1,~$ x e y son números positivos .

Entonces $x=\sin^2t$ y $y=\cos^2t$ es una parametrización válida, ¿no te parece?

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¿Cuál será el valor mínimo de $~\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2~$ ?

Una pista: Reescribe la expresión en cuestión en términos de t y pregúntate qué técnicas conoces para encontrar el extremo $($ mínimos y máximos $)$ de funciones de una sola variable.

Answer 2

$f(t) = (t + \frac1t)^2 = t^2 + 2 + \frac1{t^2}$ es una suma de funciones convexas, por tanto convexas; por la desigualdad de Jensen, $f(x)+f(y)\ge 2f(\frac{x+y}2) = 2f(\frac12)$ con igualdad cuando $x=y$ .

Answer 3

Tenemos $(x+1/x)^2+(y+1/y)^2=x^2+y^2+1/x^2+1/y^2+4=x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2 }+4\geq 1/2+16/2+4=25/2$ . Aquí hay que tener en cuenta que $x+y=1$ implica $xy\leq 1/4$ entonces $1/(xy)^2\geq 16$ y $x+y=1$ implica $x^2+y^2=1-2xy\geq 1-(x^2+y^2)$ así que $x^2+y^2\geq 1/2$ . Para $x=y=1/2$ tenemos igualdad.

Answer 4

$(x+1+y/x)^2+ (y+1+x/y)^2 >= 1/2 (x+1+y/x+y+1+x/y)^2 >= 1/2(2+1+x/y+y/x)^2 >=25/2 $

La igualdad se mantiene cuando $x/y=y/x$ o $x=y$