¿Es cualquier ecuación de Newton una ecuación de Euler-Lagrange?

Question

Que %#% $ #%

ser la ecuación de Newton en un % variable whith $$ r'' = \mathrm{F}(r', r)$localmente Lipschitz.

Hay una función $\mathrm{F}$ tal que la ecuación de Newton es en realidad la ecuación de Euler-Lagrange $\mathcal{L}(r',r)$ $

Sé que es cierto para un campo de fuerza conservadora, pero ¿qué pasa con el caso general?

Answer 1

su primera pregunta es también conocido como el problema inverso para la Mecánica lagrangiana.

Respondiendo a tu pregunta, existe una condición necesaria y suficiente para que una segunda orden ode $F(r'',r',r)=0$ ser de tipo Euler-Lagrange. Esta condición, llamada después Helmholtz, se expresa por el sistema $$\left\{\begin{gathered} \frac{\partial F_i}{\partial r_j''}=\frac{\partial F_j}{\partial r_i''},\\ \frac{\partial F_i}{\partial r_j'}+\frac{\partial F_j}{\partial r_i'}=2\frac{d}{dt}\frac{\partial F_j}{\partial r_i''},\\ \frac{\partial F_i}{\partial r_j}-\frac{\partial F_j}{\partial r_i}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F_i}{\partial r_j'}-\frac{\partial F_j}{\partial r_i'}\right), \end{gathered}\right.$$ donde es activa la Convención de sumación de Einstein.