Que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ser una función que satisface para cada $n \in \mathbb{N}$ % $ $$f(-n^2+3n+1)=(f(n))^2+1$
¿Es posible que esta función existe?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La idea principal aquí es la escritura en la primera parte de las ecuaciones que se obtiene y mirar si tienen términos comunes. De hecho, aquí los términos de $n=3$ $n=1$ son muy interesante, en tanto sólo se producirá $f(1)$$f(3)$.
\begin{align*} f(3)&=1+f(1)^2 \tag{%#%#%}\\ f(1)&=1+f(3)^2 \tag{%#%#%}\\ \end{align*} Como no sabemos cuánto vamos a tratar de obtener una ecuación que sólo habiendo $i$.
En primer lugar tenemos esta ecuación: $ii$$ No utilizamos $f(1)$ a expresar $$f(1)=1+f(3)^2$ en términos de $(i)$ $f(3)$$ es eso posible?
Tenga en cuenta que $f(1)$ es una solución de $$f(1)= 1+(1+f(1)^2)^2=1+1^2+2f(1)^2+f(1)^4$$ pero esto no tiene solución real, por lo tanto su función no puede existir, como para $f(1)$ $$0= 2-x+2x^2+x^4$$ y para $x \in [0,1]$ sabemos que $$2-x+2x^2+x^4\geq 2-x> 0 $ y por lo tanto $x\in [1,\infty)$$ y para $x<x^2$ $$2-x+2x^2+x^4 \geq 2+x^2+x^4>0$$
