Un límite de una secuencia estadístico $S_{n} = \frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})=a_1+a_2+...+a_n$

Question

Secuencia $\{a_n\}$ es una secuencia positiva y satisface $S_{n} = \frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})$ donde $S_n = a_1+a_2+...+a_n$ . Encuentre $\lim_{n\to \infty} S_{n+1}*(S_{n}-S_{n-1})$

Answer 1

Una pista: desde $a_{1}=1$ $$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$$ entonces tenemos $$2S_{n}=S_{n}-S_{n-1}+\dfrac{1}{S_{n}-S_{n-1}}\Longrightarrow S^2_{n}-S^2_{n-1}=1$$ así que $$S_{n}=\sqrt{n},$$ así que $$S_{n+1}(S_{n}-S_{n-1})=\sqrt{n+1}(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\to \dfrac{1}{2}$$