La definición aceptada por el oro ángulo se basa en la relación de arcos de círculo, es decir, si $\alpha_0$, el oro ángulo en radianes, entonces:
$$\frac{a}{b}=\frac{b}{a+b}$$
Donde$a=\alpha_0 R$$b=(2 \pi-\alpha_0) R$.
Si el ángulo se define como tal, a continuación, podemos ver que $\alpha_0=(3- \sqrt{5}) \pi$.
(Todo lo anterior es de acuerdo a Wikipedia).
Sin embargo, si utilizamos el directo de la generalización de la definición común de la proporción áurea de un segmento de línea, debemos estar comparando las áreas en lugar de la longitud del arco. Por lo tanto, si $\alpha$ es el nuevo tipo de) oro ángulo, debemos definir usando el segmento de área $A$ que es "cortado" por el dibujo de la cuerda:
$$A=\frac{1}{2} (\alpha-\sin \alpha)$$
$$\frac{A}{B}=\frac{B}{A+B}$$
Obtenemos una ecuación trascendental para el ángulo:
$$\alpha-\sin \alpha=(3- \sqrt{5}) \pi=2(2-\phi) \pi$$
Numéricamente su valor es:
$$\alpha=2.7664077793984\dots=0.8805749453982892\dots \pi$$
No he sido capaz de encontrar una forma cerrada.
Podemos encontrar una forma cerrada para $\alpha$? Es una expresión algebraica de varios de $\pi$ o no?
A diferencia de la definición común, esta última definición de la golden ángulo puede ser generalizada para la esfera en 3D (corte por un plano y, a continuación, comparar volúmenes) o $n-$esfera en cualquier número de dimensiones.
Si no me equivoco, luego de una esfera , obtenemos una ecuación:
$$(2+\cos (\alpha/2))(1-\cos (\alpha/2))^2=2(3-\sqrt{5})$$
Lo que hace que $\cos \alpha_{3D}$ algebraicas y como tengo entendido $\alpha_{3D}$ algebraica de varios de $\pi$.
$$\alpha_{3D}=2.8228221947949\dots=0.898532211542238\dots \pi$$
