En mi mente de que una región relacionada con la en $X$ construido a partir de $K$ siempre es compacto, creo. Cualquier medida $\mu$ $K$ tiene un centro de gravedad $c$, que se define como el mínimo de $x$ el valor promedio de $d(x,y)^2$ $y$ muestras de $\mu$. El conjunto de medidas de Borel en $K$ es compacto por el Banach-Alaoglu teorema en el débil-* topología, y mi intuición es que la posición del centro de gravedad es continua con respecto a esta topología. (Si esta intuición está mal, entonces el resto de este post no es del todo interesante.) Este no es el mismo que el convex hull, pero parece muy interesante, como una posible aproximación.
Cualquier punto en el estricto casco convexo de $K$ (no su cierre) es alcanzado por una secuencia de operaciones binarias sobre pares de puntos a partir de una lista finita. La lista inicial de los puntos es en $K$, y, a continuación, ciertos pares de $x$ $y$ hacer nuevos puntos de $z$. Por definición, $z$ está a la distancia de $p$ a lo largo del camino de$x$$y$. Esta descripción induce una medida en el conjunto inicial de puntos. Por ejemplo, supongamos que empezamos con $x_1, x_2, x_3, x_4 \in K$, luego tome el punto de $y_1$ $p_1$ a lo largo de la línea geodésica de $x_1$ $x_2$y el punto de $y_2$ $p_2$ a lo largo de la línea geodésica de$x_3$$x_4$. Entonces, finalmente, el punto de $z$ $q$ a lo largo del camino de$y_1$$y_2$. La inducida por la medida en la lista original de los puntos es, a continuación,$qp_1[x_1]+q(1-p_1)[x_2]+(1-q)p_2[x_3]+(1-q)(1-p_2)[x_4]$. Esta medida tiene un centro de gravedad $c$, y me pregunto ¿a qué distancia $c$$z$. Si $X$ pasa a ser un espacio vectorial, entonces $c=z$, pero en general no son iguales.
Hay una mutua generalización de puntos en el casco convexo y centros de gravedad. Comenzando con una base de lista de puntos de $x_1,\ldots,x_n \in K$, hay un $k$-ary operación con pesos que reemplaza $k$ de los puntos con su centro de gravedad. Si estas operaciones se repiten en el patrón de un promedio ponderado de árbol de $T$, entonces el cálculo produce un punto de $z$, lo que podría ser en el convex hull (si $T$ es binario), o podría ser un centro de gravedad (si $T$ es un arbusto), o podrían ser varias cosas en el medio. Ahora supongamos que $T$ es complicado árbol. Podemos acoplar a hacer es un arbusto $T_1$ que se obtiene un punto de $z_1$. Luego de varias maneras nos puede unflatten $T_1$, paso por paso, para acercarse a $T = T_n$. Suponiendo que el primer párrafo, los puntos que puede ser alcanzado por los árboles de la limitada profundidad son un conjunto compacto. No sé lo suficiente acerca de la $\text{CAT}(0)$ espacios para sacar conclusiones, pero parece posible que los puntos de $z_k$ enfoque, el punto final $z = z_n$ con la rapidez suficiente para establecer la compacidad. O si esto no sucede, entonces podría ser la evidencia en contra de la compacidad de la convex hull.
(Para ser claros, esto es sólo una propuesta y no una solución).
Aquí otra forma de estado la propuesta, sin el uso directo de centro de masa, aunque todavía es sugerido por el hecho de que el conjunto de los centros de masa es compacta.
Para cualquier $0 \le p \le 1$, no es una operación binaria $x \heartsuit_p y$ en puntos en $X$. Por definición, $x \heartsuit_p y$ es el punto de $z$ tal que $d(x,z) = pd(x,y)$$d(y,z) = (1-p)d(x,y)$. Deje $x_1,\ldots,x_n$ ser una lista de puntos en $K$, con posibles repeticiones. A continuación, cada palabra $w$ en los puntos de $K$ escrito en esta notación se define un punto de $z \in X$. Se puede también calcular la misma palabra en los vértices de un Euclidiana simplex $\Delta_{n-1}$. De este modo, obtener un mapa continuo $f_T:\Delta_{n-1} \to X$ que sólo depende de la estructura de árbol de $T$$w$. Cuán lejos están estos mapas de cada uno de los otros dos árboles diferentes? (Hay $(2n-3)!!$ distintas de árboles). Si usted tiene suficiente control sobre la distancia, entonces el cerrado convexo casco de $K$ es compacto. Más precisamente, la esperanza es encontrar un compactification del espacio de las palabras que la evaluación del mapa se extiende de forma continua.
Por ejemplo, si $n=3$, podemos definir tres árboles centros de tres puntos de $x,y,z$, es decir, $x \heartsuit_{1/3} (y \heartsuit_{1/2} z)$ y sus permutaciones cíclicas. Lo lejos que se puede estar en un $\text{CAT}(0)$ espacio? Por ejemplo, en un árbol, que es una especie de opuesto a un espacio Euclídeo, el árbol de los centros de una unidad de un triángulo equilátero son en la mayoría de 1/3 de distancia el uno del otro.
En los comentarios de mi otro post sobre las posibles contraejemplos, Anton también pide referencias. He encontrado el papel Nonexpansive se retrae en espacios de Banach, por Kopecká y Reich. Dicen,
Esta prueba del Teorema 2.10 funciona igual de bien en cualquier Hadamard espacio en el que el cerrado convexo casco de un número finito de puntos es compacto. Se deduce entonces que la Meseta problema puede ser resuelto en dichos espacios. Por desgracia, no se sabe que Hadamard espacios tienen esta propiedad. Sin embargo, se muestra en [Nosotros, Teorema 1.6] que la Meseta del problema puede ser resuelto en cada Hadamard espacio (independientemente de si tiene esta propiedad o no)."
Su teorema 2.10 es interesante, la más fuerte de la propiedad que se muestran de la siguiente manera a partir de Anton de la propiedad: Cada conjunto compacto $K$ está contenida en un compacto de 1-Lipschitz retirar de la espacio de $X$. Evidentemente, dicha retraer también es convexa, por lo que el casco convexo de $K$ en el interior es compacto. Por otra parte, el tema de su Teorema 2.10 es exactamente mi ejemplo 2, así que el ejemplo no funciona. Por otra parte, Anton de la propiedad ya tiene un nombre en la literatura, lo que ellos llaman la CNEP, y que reducir para el caso de que $K$ es finito. Finalmente, a partir de 2006, estos autores lo describen como un problema abierto.
