Utilizar el teorema del valor medio para demostrar la siguiente desigualdad

Question

A) use el teorema del valor medio para demostrar\begin{equation} \sqrt{1+x} < 1 + \frac{1}{2}x \text{ if } x>0 \end{equation}

Resultado del uso de la B) en la A) para demostrar que\begin{equation} \sqrt{1+x}>1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2 \text{ if } x>0 \end{equation}

¿Puede alguien dar una respuesta para la parte B)?

Answer 1

De (A), $x>0$ tenemos:

$0<\sqrt{x+1}-1<\frac{1}{2}x\Rightarrow {(\sqrt{x+1}-1)}^2<\frac{1}{4}x^2\Rightarrow {(\sqrt{x+1})}^2+1^2-2\sqrt{x+1}<\frac{1}{4}x^2 \Rightarrow \sqrt{x+1}>1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}$

Answer 2

OK, voy a mostrar cómo me gustaría resolver una:

Tenemos

$$ f(x) = 1+ \frac{x}{2} - \sqrt{1+x} $$

Claramente $f(0) = 0$. Veamos la derivada de $f$. Si se demuestra que la derivada es estrictamente positivo para $x>0$, la función es estrictamente creciente, por lo tanto positivos (en combinación con $f(0)$)$x>0$. Tenemos

$$ f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \frac{1}{2}\bigg(\frac{x}{\sqrt{1+x}} \bigg) $$

Desde $x>0$, el término entre corchetes es siempre positivo, por lo tanto la derivada es estrictamente positiva y la función es creciente. Por lo tanto,

$$ f(x)>0 \1+\frac{x}{2} > \sqrt{1+x} $$