Necesito una pista para calcular el número de formas en que se pueden realizar todas las clases equivalentes en un conjunto de $n$ elementos. Por ejemplo, si el conjunto tiene 2 elementos ${a, b}$, entonces hay 2 particiones posibles: o bien a y b están relacionados o no.
Una relación de equivalencia corresponde de manera única a una partición del conjunto base. Para un tamaño fijo $n$ del conjunto base, el número de tales particiones se conoce como el número de Bell $B_n$, consulta Wikipedia y la Enciclopedia en línea de secuencias enteras.
Los primeros números de Bell son $$1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, \ldots$$ Los números están creciendo rápidamente. Además, cabe destacar que no se conoce una fórmula cerrada simple para $B_n$.
@saadtaame: ok. Así que supongo que mi publicación responde exactamente a tu pregunta. Editaré para dar algunos detalles adicionales.
¿No es el número de particiones de un conjunto de 2 elementos = 3? {{a}}, {{b}}, {{a, b}}. ¿Cómo muestra el número de Bell un 2 en su lugar?
El número de formas de dividir un conjunto de $n$ elementos en $k$ clases se cuenta por los números de Stirling del segundo tipo, el número total de relaciones de equivalencia es el $n$-ésimo número de Bell.
Cada relación de equivalencia en un conjunto induce una partición de ese conjunto en bloques no vacíos y viceversa cada partición de un conjunto define una relación de equivalencia en ese conjunto. El número de particiones de un conjunto, es decir, el número de relaciones de equivalencia en un conjunto de tamaño n, se llama número de Bell $B_n$.
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¿Te refieres al número de relaciones de equivalencia? (El número máximo de clases equivalentes es $n$, lo cual ocurre si consideras la igualdad como tu relación de equivalencia.)
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Tienes razón. Quiero decir, si tienes 3 clases equivalentes, ¿de cuántas formas se pueden realizar? He editado la pregunta.