Estas definiciones son las mismas. De hecho, hay una tercera definición más común a la que son equivalentes. En concreto, si tomamos un sistema de coordenadas local $(x^{1}, \cdots, x^{n})$ obtenemos $dx^1 , \cdots , dx^n$ como base del espacio cotangente de un punto del gráfico. Si tomamos un índice múltiple $I = (i_{1}, \cdots, i_{k})$ , entonces podemos considerar un $k$ -de la forma $$\omega = f_{I}dx^{I}$$
y definir $$d\omega = \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f_{I}}{x^{i}}dx^{i} \wedge dx^{I} \,\,\,\,\,\, (\dagger)$$
Esta definición se extiende a cualquier $k$ -forma por linealidad. No es muy difícil ver que esto es equivalente a su primera definición, ya que la derivada de $\omega(v_{0}, \cdots, \hat{v_{i}}, \cdots v_{k})$ corresponde a $$\frac{\partial f_{I}}{x^{i}}\wedge dx^{I}$$
Y luego la evaluación en $v_i$ es como $\wedge dx^{i}$ donde se debe incluir un poder de $(-1)^i$ para compensar cómo se baraja la base. Nótese que aquí hay que tomar la derivada de una función de valor real definida en el colector, por lo que hay que elegir un sistema de coordenadas. La segunda definición tiene la ventaja de estar definida sin un sistema de coordenadas. La prueba de que es equivalente a la definición $(\dagger)$ es un poco desordenado.
Primero demuestras que la segunda definición goza de "linealidad de la función", de modo que si multiplicas uno de los campos vectoriales por un $C^\infty$ función $f$ se saca de la suma. Esto es un poco complicado, pero los detalles se pueden resolver con suficiente determinación. Tenga en cuenta que la definición $(\dagger)$ es claramente una función lineal, ya que no estamos tomando "derivadas" de campos vectoriales, como cuando se toma el corchete de Lie. Además, ambas definiciones son lineales. Por lo tanto, basta con mostrar la igualdad en los campos vectoriales de coordenadas, y de nuevo se obtienen algunos casos ligeramente desordenados. Los detalles se encuentran en el texto de Spivak "A comprehensive introduction to Differential Geometry, Vol. I", en las páginas 213-214.
