El núcleo de una acción

Question

$$G = \left\ { \begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \\ \end {pmatrix} \text {with $ a $ in $ \{1, -1\} $ and $ b $ in } \mathbb {Z} \right\ }$$

G es un subgrupo del grupo de la matriz $GL_2( \mathbb {Q})$ .

$ \phi : G \rightarrow \{1,-1\} \times \mathbb {Z}/2 \mathbb {Z}$ está dada por $ ( \begin {smallmatrix} a & b \\ 0 & 1 \\ \end {smallmatrix}) \rightarrow (a, \overline {b})$

Es el núcleo de $ \phi $ igual a $ \left\ { \begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end {pmatrix}^n \text {with $ n $ in $ \mathbb {Z} $ } \right\ }$ ? Dar una prueba o un contraejemplo.

Estoy totalmente atascado en esta pregunta. ¿Cómo se puede responder a esto? Conozco el núcleo de una acción $G$ en $S$ se define como $\{g \in G \vert g \cdot s = s \text { for all $ s $ in $ S $}\}$ pero no sé cómo seguir desde ahí. Por ejemplo, ¿qué es $S$ en este caso? ¿O es incluso el camino a seguir?

Answer 1

La respuesta es sí. El grupo $\{1,-1\}\times \mathbb Z/2\mathbb Z$ tiene $(1, \bar 0)$ como su identidad.

El núcleo de $\phi$ son, por tanto, todas las matrices de la forma $ \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Pero ${\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}^n=\begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ como se puede ver por inducción.

Answer 2

La pregunta es algo confusa ya que $\phi$ no es una acción de grupo. Es un homomorfismo de grupo, y de eso trata esta respuesta.

El elemento unitario de $\{1, -1\}$ es $1$ (asumiendo la multiplicación como operación de grupo). La de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es $\bar 0$ . Por lo tanto, el elemento unitario del producto directo es $(1, \bar 0)$ .

Usted pregunta cuando $\phi\left(\pmatrix{a & b \\ 0 & 1}\right) = (1, \bar 0)$ .

Este es claramente el caso si y sólo si $a = 1$ y $b = 2n$ para algunos $n \in \mathbb Z$ .

Así que el núcleo está formado por todas las matrices

$$\pmatrix{1 & 2n \\ 0 & 1}$$

Lo que queda es demostrar que

$$\pmatrix{1 & 2 \\ 0 & 1}^n = \pmatrix{1 & 2n \\ 0 & 1}$$

Se puede utilizar la descomposición de valores propios de la matriz para demostrarlo, ya que (convenientemente) existe en $\mathbf{GL}_2(\mathbb{Q})$ .