Demostrar que la función aumenta

Question

Supongamos que $f(x)$ es continua en $[0,1]$ y diferenciable en $(0,1)$ .

También sabemos que $f(0)=0$ y $f'(x)$ está aumentando.

Cómo probar $\frac{f(x)}{x}$ también está aumentando en $(0,1)$ ?

Answer 1

Considere $[0,x], x \le 1$ . Entonces, aplicando el teorema del valor medio, $f(x) - f(0) = xf'(c)$ para $c \in (0,x)$ . Pero como $f'$ está aumentando, $f(0) = 0, $ y $c \lt x$ vemos $f(x) \lt xf'(x)$ .

Entonces, por la regla del cociente, dejando que $g(x) = \frac{f(x)}{x}, g'(x) = \frac{xf'(x) - f(x)}{x^2} \gt 0$ . Así, $g$ está aumentando.