Suficiencia de las estadísticas de pedidos

Question

Me han dicho que la siguiente prueba es incorrecta, pero no puedo entender por qué.

Considere $X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}$ son los estadísticos de orden de una muestra aleatoria de tamaño $n$ . Quiero demostrar que las estadísticas de orden son suficientes. Así que escribí:

$$P(X_1, \ldots, X_n|X_{(1)}, \ldots, X_{(n)})= \tfrac{1}{n!}$$

ya que dado el vector de estadísticas de orden, hay $n!$ posibilidades de la muestra $X_1, \ldots, X_n$ .

Como estamos en un caso i.i.d., entonces cada vector es equiprobable, por lo que la igualdad se deduce. Me han dicho que esto no es cierto especialmente en el caso de variables aleatorias discretas. Sin embargo, no veo por qué es incorrecto. Cualquier explicación sería genial.

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, es evidente que no es cierto para las variables aleatorias discretas.

El problema es, como sugería el cartel original en los comentarios, que podemos tener ataduras.

La probabilidad no nula de empates hace que la igualdad

$P(X_1, \ldots, X_n|X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}) = \frac{1}{n!}$

- que funciona en el caso continuo - falso en general.

(Este es un problema familiar cuando se trata de pruebas no paramétricas).