Qué es realmente el sistema local

Question

Sé que un sistema local es una gavilla localmente constante. Pero ¿por qué un sistema local en el espacio topológico $X$ corresponden a $\tilde{X}\times_G V$ donde $G$ es el grupo fundamental de $X$ , $\tilde{X}$ es el espacio de cobertura universal de $X$ y $V$ es un $G$ -¿Módulo? ¿Cómo se recupera la gavilla localmente libre de $\tilde{X} \times_G V$ ?

Answer 1

El grupo $G$ actúa correctamente de forma discontinua sobre $\tilde{X}$ por lo que si $x$ es cualquier punto de $\tilde{X}$ admite una vecindad $U$ s.t. que $U g$ es disjunta de $U$ si $g \in G$ no es trivial. Por lo tanto, el mapa natural de $U$ a $\tilde{X}/G = X$ es una incrustación.

Por lo tanto, el mapa natural de $U \times V$ a $\tilde{X}\times_G V$ también es un incrustación, por lo que $\tilde{X}\times_G V$ es localmente constante (es decir, localmente un producto).

Observaciones más detalladas:

• Debemos equipar $V$ con su topología discreta

• El objeto $\tilde{X}\times_G V$ no es en sí misma una gavilla, sino más bien el espacio etale de una gavilla. Para obtener la gavilla real consideramos la proyección natural $\tilde{X}\times_G V \to \tilde{X}/G = X$ y forman la gavilla de secciones asociada. Sobre el conjunto abierto $U \hookrightarrow X,$ esto restringe a la gavilla de secciones a la proyección $U\times V \to U$ cuyas secciones son precisamente la gavilla constante sobre $U$ unido al espacio vectorial $V$ . (Aquí es donde vemos que es importante equipar $V$ con la topología discreta). Así, nuestro haz original de secciones es localmente constante, como se ha dicho.