Determina

Question

Vamos $$f(z)=\frac1{1+z^4}$$ (a) Find the sinularity of $f(z)$ in the first quadrant where $Re(z), Im(z) \ge 0$.

(b) halle el residuo del punto singular se encuentra en el primer cuadrante.

(c) Deje $\Gamma_R$ ser el cuarto de círculo $\Gamma_R: |z|=R$, $Re(z), Im(z) \ge 0$, orientado positivamente. Mostrar que $$\lim \limits_{R \rightarrow \infty} \int _{\Gamma_R} f(z) \, \, dz =0$$

(d) Determinar el $$\int \limits_0^{\infty} \frac1{x^4+1}dx$$

Intento:

Para (un) conseguí $$z_0 = \frac{\sqrt2}{2} +\frac{\sqrt2}{2}i$$

Para (b) conseguí que esto es un simple polo dado que el grado de es $1$ $f(z_0)$ no hacer el numerador se desvanecen. Así que, usando el límite de fórmula $$Res (f,z_0)= -\frac{\sqrt2}{8}-\frac{\sqrt2}{8}i$$

Utiliza $ML$ Lema para (c).

Atascado en (d). ¿Qué debo hacer en mi región? Yo estaba pensando en $\Gamma = \Gamma_R + \nabla R$ donde $\Gamma_R$ es como se indicó en la pregunta y $\nabla_R$ es la línea de $0$ $R$en el eje real. Pero esto significaría $\Gamma $ no está cerrado. Es esto un problema?

Desde el uso de este tengo la respuesta a (d)$$\frac{\pi \sqrt2}4 -\frac{\pi \sqrt2}4i$$, pero realmente no está seguro de esto ya que en mi región elegida no está cerrado...

Answer 1

Sugerencia: También incluyen la línea de $0$ $Ri$.

Answer 2

Hay dos sencillas posibilidades:

1.) Tomar la Quartercircle en el primer Cuadrante

Todos los otros cuadrantes debería funcionar así, pero tal vez hay un poco más desagradable signos menos. Usted puede ahora mostrar que la integral a lo largo de la real y eje imaginario son iguales (hasta un prefactor).:

$ I_{im}=\int_{0}^{i \infty}\frac{1}{1+z^4}dz=i \int_{0}^{ \infty}\frac{1}{1+(i + t)^4}dt=i \int_{0}^{ \infty}\frac{1}{1+ t^4}dt=i I_{volver} $

Ahora aplicar el teorema de los residuos, obtenemos $$ I_{re}-iI_{re}=2\pi i \times \text{res}\left[z_0=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(1+i\right)\right]=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(1-i\right) $$

Nota: el signo menos que proviene del hecho de que se nos vaya de$i\infty$$0$.

Por lo tanto: $$ I_{re}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}} $$

2.) Tome la mitad de un círculo en la parte superior/inferior(la mitad de avión y dividir por dos

La aplicación de la simetría w.r.t a $z \rightarrow -z$,

$$2 I_{re} = 2\pi i \times \text{res}\left[z_0=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(1+i\right)\right]+2\pi i \times \text{res}\left[z_0=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(1-i\right)\right]$$

Nota que ahora tenemos de ambos residuos en la mitad superior del plano. El resto del cálculo es ahora algunos fáciles de álgebra y se obtiene la misma respuesta de arriba!