Que $p \in \mathbb{Z}$ ser un número primo. ¿Sé cómo mostrar que $$\{r \in \mathbb{Q}: r = {a\over{b}},\text{ }a,b \in \mathbb{Z},\text{ }p\text{ doesn't divide }b\}$$ is a DVR with quotient field $ \mathbb{Q}$. My question is though, are these the only DVR's with quotient field $\mathbb{Q}$?
Respuesta
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Jherico
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Sí, como un DVR es un anillo local sólo hay un número primo que no es invertible. (Tenga en cuenta que un trivial ideal no puede incluir dos números primos y cada unidad está contenida en algunos máximo ideal.)
En más detalle:
Todos los no-cero sub-anillo de $\mathbb{Q}$ debe contener $\mathbb{Z}$ y desde un campo no es un DVR el anillo no debe ser igual a $\mathbb{Q}$.
Deje $\mathbb{Z} \subset R \subsetneq \mathbb{Q}$ ser un DVR. Ser un DVR $M=R \setminus R^{\times}$ es un ideal (el único ideal maximal). Supongamos que hay distintos números primos $p,q \in M$. Sin embargo, el $\mathbb{Z}$-ideal generado por a$p,q$$\mathbb{Z}$, por lo que constains $1$. Sin embargo, esta $\mathbb{Z}$-ideal está contenida en $M$ que no contenga $1$, una contradicción.
Por lo tanto, todos menos uno de los números primos $p_0$ no $M$ y por lo tanto en $R^{\times}$. Esto significa que $b \in R^{\times} $ para cada entero $b $ coprime a $p_0$ $R$ contiene un anillo de la forma dada en la OP.
Queda por demostrar que $R$ no es grande. Supongamos $\frac{a}{b} \in R$ $p_0 \mid b$ dice $b = p_0 b'$$p \nmid a$. A continuación,$a \in R^{\times}$$\frac{b'}{a} \in R$. Por lo $ \frac{1}{p_0} = \frac{a}{b} \frac{b'}{a} \in R$. Y $p_0 \in R^{\times}$.
Sin embargo, a continuación, todos los números primos son invertible, y por lo tanto $R = \mathbb{Q}$, una contradicción.
