Cohomología de Simplicial con soporte compacto

Question

Esto es de Hatcher discusión en la página 242, sección 3.3.

$X$ localmente compacto $\Delta$complejo, que es equivalente a decir que cada punto tiene una vecindad que se reúne sólo un número finito de simplices.

$\Delta_{C}^i(X;G)$ es el subgrupo de la simplicial cochain grupo $\Delta^i(X;G)$ que consiste en la cochains que se compacta compatible, que es equivalente a tomar valores distintos de cero en un subconjunto compacto de $X$.

Él dice que para $\varphi \in \Delta^i(X;G)$, el coboundary $\delta \varphi$ puede tener un valor distinto de cero sólo en los $(i+1)$-simplices tener una cara en la cual $\varphi$ es distinto de cero y...

... sólo hay un número finito de estos simplices por el local de la compacidad de la asunción.

Estoy dudosa acerca de esta última afirmación. ¿Por qué no podemos simplemente usar el hecho de que $\varphi$ tiene soporte compacto? Las caras de un $n$-simplex se $(n-1)$-simplices, así que si hay infinitamente muchos $(i+1)$-simplices donde $\varphi$ tienen valores distintos de cero, entonces a $\varphi$ no han tenido compacto de apoyo.

Hay algo mal con mi argumento? Si es así, ¿cómo hace uno para utilizar el local de la compacidad de la asunción?

Answer 1

No podemos usar el hecho de que $\varphi$ tiene soporte compacto, ya que probablemente no, $\varphi \in \Delta^i(X;G)$ no necesariamente de $\Delta_C^i(X;G)$.

Pero Hatcher está hablando de $\phi \in \Delta_C^i(X;G)$ $\phi$ toma en valor distinto de cero en finitos $i$-simplices y como $X$ es localmente compacto cada uno de estos $i$-simplices se cruzan finito $i+1$-simplices (un hecho que no será verdadera para al menos una $n$-simplex en alguna dimensión si $X$ no es localmente compacto). Es en estos finito $i+1$-simplices que $\delta \phi$ puede tomar un valor distinto de cero límites de lo $\delta \phi \in \Delta_C^{i+1}(X;G)$.

Answer 2

El problema es que $\delta\varphi$ puede tener mayor apoyo de $\varphi$. Para $\delta\varphi$ a ser distinto de cero en un simplex $\sigma$, lo que significa $\varphi$ es distinto de cero en $\partial\sigma$. Así que mientras a $\sigma$ tiene algún límite cara en el apoyo de $\varphi$, $\sigma$ puede ser en el apoyo de $\delta\varphi$, incluso si el interior de $\sigma$ no está en el apoyo de $\varphi$.

Sin embargo, la compacidad de la asunción asegura que para cada simplex en el apoyo de $\varphi$, hay sólo un número finito de mayores dimensiones simplices que tienen como límite la cara. Por lo tanto si $\varphi$ tiene soporte compacto, $\delta\varphi$ (a pesar de que su apoyo puede ser más grande!).