Quiero mostrar el siguiente límite: $$ \lim_{n \to \infty} n \left[ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{2n} - \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^{n} \right] = \frac{1}{e^{2}}. $$ Tengo la respuesta utilizando WolframAlpha, y parece ser correcta, numéricamente, pero estoy teniendo problemas para probar el resultado. Mi primer instinto fue escribir el límite como $$ \lim_{n \to \infty} \frac { \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{2n} - \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^{n} } {1/n}. $$ Entonces, traté de aplicar la regla de l'Hospital, y tengo $$ \lim_{n \to \infty} \frac { \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{2n} \left( 2 \log\left( 1 - \frac{1}{n} \right) + \frac{2}{n-1} \right) - \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^{n} \left( \log\left( 1 - \frac{2}{n} \right) + \frac{2}{n-2} \right) } {-1/n^{2}}. $$ Esto no parece haber llegado a mí en cualquier lugar. Mi segundo intento fue utilizar el teorema del binomio: $$ \begin{align*} n \left[ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{2n} - \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^{n} \right] & = n \left[ \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} \frac{(-1)^{k}}{n^{k}} - \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{(-1)^{k} 2^{k}}{n^{k}} \right] \\ & = \sum_{k=2}^{n} \left[ \binom{2n}{k} - \binom{n}{k} 2^{k} \right] \frac{(-1)^{k}}{n^{k-1}} + \sum_{k=n+1}^{2n} \binom{2n}{k} \frac{(-1)^{k}}{n^{k-1}}. \end{align*} $$ En este punto me quedé atrapado de nuevo.
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Que sería hacer el % de transformación $$\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n}=e^{2n\log\left(1-\frac{1}{n}\right)}$$ continuación, utilizar el segundo orden Taylor expansión %#% $ de #% y del mismo modo para el otro término, obtener $$ n\left(e^{-2-\frac{1}{n}}-e^{-2-\frac{2}{n}}\right) = e ^ {-2-\frac {2} {n}} \cdot\frac {e ^ {\frac {1} {n}} -1} {\frac {1} {n}} $$
Podemos proceder de la siguiente manera\begin{align} L &= \lim_{n \to \infty}n\left\{\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{2n} - \left(1 - \frac{2}{n}\right)^{n}\right\}\notag\\ &= \lim_{n \to \infty}n\left(1 - \frac{2}{n}\right)^{n}\left\{\dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^{2n}}{\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)^{n}} - 1\right\}\notag\\ &= \frac{1}{e^{2}}\lim_{n \to \infty}n\left\{\dfrac{\left(1 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}\right)^{n}}{\left(1 - \dfrac{2}{n}\right)^{n}} - 1\right\}\notag\\ &= \frac{1}{e^{2}}\lim_{n \to \infty}n\left\{\left(1 + \frac{1}{n^{2} - 2n}\right)^{n} - 1\right\}\notag\\ &= \frac{1}{e^{2}}\lim_{n \to \infty}f(n)\tag{1} \end {Alinee el}
Ahora nota que\begin{align} n\left(1 + \frac{n}{n^{2} - 2n} - 1\right) < f(n) &= n\left[\left\{\left(1 + \frac{1}{n^{2} - 2n}\right)^{n^{2} - 2n}\right\}^{n/(n^{2} - 2n)} - 1\right]\notag\\ &< n\left\{\exp\left(\frac{n}{n^{2} - 2n}\right) - 1\right\}\notag\\ &= n\cdot\frac{n}{n^{2} - 2n}\cdot\frac{n^{2} - 2n}{n}\left\{\exp\left(\frac{n}{n^{2} - 2n}\right) - 1\right\}\notag\\ \end {alinee el} y $$\frac{n^{2}}{n^{2} - 2n} < f(n) < \frac{n^{2}}{n^{2} - 2n}\cdot\frac{n^{2} - 2n}{n}\left\{\exp\left(\frac{n}{n^{2} - 2n}\right) - 1\right\}$$ Taking limits as $n \to \infty$ and using squeeze theorem we see that $f(n) \to 1 $ as $n \to \infty$. From equation $ 1 $ we can see that $L = 1/e ^ {2} $.
Para derivar las desigualdades se han utilizado $(1 + x)^{n} > 1 + nx$ $x > 0$ y $n$ un entero positivo y $(1 + (1/n))^{n} < e$ para todos los enteros positivos $n$. Ambas estas desigualdades son bastante estándar y pueden demostrarse fácilmente. También tenga en cuenta que si ponemos $t = n/(n^{2} - 2n)$ y $t \to 0$ $n \to \infty$ y $(e^{t} - 1)/t \to 1$ $n \to \infty$.
$$ (1-\frac1 {n}) ^ {2n} = (1-\frac2 {n} + \frac1 {n ^ 2}) ^ n $$ uso la expansión binomial: $$ (1-\frac2 {n} + \frac1 {n ^ 2}) ^ n = \sum_ {k = 0} ^ n (1-\frac2 {n}) ^ {n-k} \binom {n} {k} \frac1 {n ^ {2k}} $$ tanto $$ \left n [\left (1 - \frac{1}{n} \right)^{2n} - \left (1 - \frac{2}{n} \right)^{n} \right] = \sum_{k=1}^n (1-\frac2 {n}) ^ {n-k} \binom {n} {k} \frac1 {n ^ {2 k-1}} \\ = (1-\frac2 {n}) ^ {n-1} + \sum_ {k = 2} ^ n (1-\frac2 {n}) ^ {n-k} \binom {n} {k} \frac1 {n ^ {2 k-1}} $$
En el mismo espíritu como Lucian, se puede considerar que la expansión general para grandes valores de $n$ $$ \left( 1 - \frac{a}{n} \right)^{b\,n}= \left(1-\frac{a^2 b}{2 n}+\frac{a^3 b 3 b-8)}{24 n^2}-\frac{a^4 b \left(a^2 b^2-8 b+12\right)}{48 n^3}+\cdots\right)e^{-b} $$ Applied to your case $$\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{2n}=\left(1-\frac 1n-\frac1 {6n^2}+\cdots\right)e^{-2}$$ $$\left( 1 - \frac{2}{n} \right)^{n}=\left(1-\frac 2n-\frac2 {3n^2}+\cdots\right)e^{-2}$$ which finally make $$n \left[ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{2n} - \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^{n} \right]=\left( 1 +\frac{1}{2n}+\cdots \right)e^{-2}$$
En una forma más general,$$\left[ \left( 1 - \frac{a}{n} \right)^{bn} - \left( 1 - \frac{b}{n} \right)^{an} \right]=(a-b)\left(-\frac{b }{2 n}+\frac{a b (a+b) (3 b-8)}{24 n^2}\right)e^{ab}$$
