El grupo de transformaciones afines de una línea real en sí mismo, llama la general afín grupo de la línea, es
$$
\text{As}(1,\Bbb{R}) = \Bbb{R} \rtimes \text{GL}(1,\Bbb{R}) \simeq \Bbb{R} \rtimes (\Bbb{R}\setminus \{0\})
$$
donde $\Bbb{R}$ representa traducciones y $\text{GL}(1,\Bbb{R})$ representa las transformaciones afines que deje el origen fijo, es decir, el grupo generado por la reflexión a lo largo de la $y$ eje (que es la misma que la rotación de las $\pi$) y las dilataciones. De hecho, una dilatación en una línea real puede ser representada como la multiplicación por un número real positivo, mientras que la rotación de las $\pi$ puede ser representado por la multiplicación por $-1$.
En cambio, si usted está buscando para el grupo de isometrías de la línea en sí mismo, es decir, las transformaciones afines que conservan las longitudes, todo lo que necesitas hacer es descartar las dilataciones, la obtención de
$$
\Bbb{R} \rtimes \{1,-1\}
$$
donde $\{1,-1\}$ es considerado como el grupo cíclico de orden $2$ en la notación multiplicativa.
Respecto a su última pregunta: tenga en cuenta que la dirección en la que usted está tomando traducciones está implícita en el isomorfismo. De hecho, se está identificando a la traducción por $a \in \Bbb{R}$ a lo largo de la $x$ eje con el número de $a$ sí. Además, esta no es realmente una fuente de confusión, porque cualquier otra traducción del plano en el que se está incorporando a su línea (usted podría incluso considerar la línea por sí mismo) no enviar la línea a sí mismo, por lo que no puede una simetría de la línea.
Por último, vamos a tratar de proporcionar una explícita isomorfismo para el caso de que el grupo $G$ de isometrías de la línea en sí mismo. Como te has dado cuenta, los únicos elementos de $G$ son las traducciones $\tau_a$ $a \in \Bbb{R}$ (tenga en cuenta que la identidad de $\text{id}$ es la traducción por $0$) y las reflexiones con respecto a algunas de las verticales de la línea de $y = b$$b \in \Bbb{R}$.
Ahora, tenga en cuenta que la rotación $\rho$ $\pi$ coincide con la reflexión con respecto a la $y$ eje, es decir, la línea de $y = 0$. Además, todos los otros a la reflexión por una línea vertical puede ser obtenida como la composición de la $\tau_a \circ \rho \circ \tau_{-a}$. Por lo tanto, podemos generar $G$ con las traducciones y con $\rho$.
Claramente el conjunto de traducciones $T$ es un subgrupo, y es normal porque
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\rho \circ \tau_a \circ \rho = \tau_{-a}
$$
para cada $a \in \Bbb{R}$.
Por otro lado, el subgrupo $R = \{\text{id},\rho\}$ no es normal porque
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\tau_b \circ \rho \circ \tau_a \noen R
$$
para cada $a,b \in \Bbb{R} \setminus \{0\}$. Finalmente se observa que el $T \cap R = \{\text{id}\}$ porque $\rho$ no es una traducción, así
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G \simeq T \rtimes R \simeq \Bbb{R} \rtimes \{1,-1\}.
$$
