¿Podemos encontrar un bien ordenando en un infinito con ningún elemento más grande?

Question

Según el pedido teorema "Cualquier conjunto puede ser bien ordenado". Siempre que tenemos un pozo, la ordenación de un conjunto, no es difícil construir un nuevo pozo de pedidos con un elemento más grande.
Mi pregunta es:

Para un determinado conjunto infinito, podemos encontrar un ordenamiento en el que no hay ningún elemento más grande?

Answer 1

Sí. De hecho, hay un canónica manera de transformar un buen orden en un buen orden de los mismos sin mayor elemento.

Supongamos que tengo una infinita bien el fin de $X$. Deje $F_X$ el conjunto de elementos de $X$ con un número finito de cosas más grandes que ellos - por ejemplo, el mayor elemento de $X$ (si un elemento existe) en $F_X$, mientras que (si $X$ es infinito) el mínimo elemento de $X$ (que siempre existe, ya que las $X$ es un buen orden) no es en $F_X$.

No es difícil mostrar que $F_X$ es finito, ya que de lo contrario podríamos construir una infinita descendente de la cadena en $X$ (ejercicio). Ahora vamos a $I_X=X\setminus F_X$; este es un conjunto ordenado sin mayor elemento.

Si $X$ es infinito, $I_X$ $X$ tienen la misma cardinalidad. Si desea explícito de isomorfismo, podemos "mover" $F_X$ a la parte de atrás" - definir un nuevo pedido de $\prec$$X$, dado por $a\prec b$ fib

• $a, b\in I_X$ $a<b$ en el sentido original de $X$; o

• $a, b\in F_X$ $a<b$ en el sentido original de $X$; o

• $a\in F_X, b\in I_X$.

Answer 2

Si $A$ es infinito $A$ puede ponerse en biyección con $A \cup \mathbb{N}$. Ahora desde el pozo orden de $A$ puede ge un bien pedido de $A \cup \mathbb{N}$ sin un elemento más grande (de la manera obvia) y luego, un nuevo bien pedido de $A$ sin un elemento más grande.

Answer 3

En el desarrollo habitual de ZFC, un cardenal se define a la menos ordinal con una determinada cardinalidad. Cardenales infinitos son "límite ordinales"---como conjuntos ordenados no tienen ningún elemento más grande.