Suma de elementos de un campo finito

Question

Sea $F$ un campo finito y $i$ un entero. Calcular la suma de todos los elementos de $F$, elevados cada uno a la potencia $i$.

Mi enfoque hasta ahora:

Sea $F=(0,1,\alpha,\alpha^2,...,\alpha^{p^n-1})$, donde $p$ es un número primo y sea $\sigma=1+\sum_{k=1}^{p^n-1}(^k)^i$ la suma deseada.

Dado que $F$ es un anillo, cada elemento tiene un inverso aditivo. Así, en el caso trivial de $i=1$, resulta en $\sigma=1+[\alpha+(-\alpha)+\alpha^2+(-\alpha^2)+\cdots+\alpha^{p^n-1}+(-\alpha^{p^n-1})]=1$.

También podemos calcular el caso trivial de $i=0$, donde $\sigma=1+p^n-1=p^n$

En el caso general, sea $i=t (\text{mod } p^n)$.
Entonces: $i=t+mp^n$, donde $t,m$ son enteros. Tomamos en cuenta el hecho de que el orden del grupo multiplicativo del campo finito es $p^n$, por lo que cada elemento elevado a $p^n$ es igual a $1$. Así que $=1+^t+^{2t}+\cdots+^{t(p^n-1)}$. Esta es la suma de una progresión geométrica, más $1$. Por lo tanto, $=1+(^{p^n-1})/-1$ = $ 1$+($^{p^n}-$)/${\alpha-1}$. Pero según el teorema de Lagrange, para todo $\alpha\in F$, el polinomio $x^{p^n}-x$ es cero. Se deduce que $\sigma=1$.

Se plantea una pregunta importante: ¿Es cierto que la característica del campo finito es $p$ si su orden es $p^n$? Si es así, ¿el caso para $i=0$ lleva a $=01$ y se han considerado todos los casos?

Answer 1

Un enfoque diferente. Supongamos que $i$ es tal que $\alpha^i\neq1$. Sea $$ \sigma_i=\sum_{x\in\Bbb{F}_{p^n}}x^i $$ la suma. Obtenemos que $$ \alpha^i\sigma_i=\alpha^i\left(\sum_{x\in\Bbb{F}_{p^n}}x^i\right) =\sum_{x\in\Bbb{F}_{p^n}}\alpha^ix^i= \sum_{x\in\Bbb{F}_{p^n}}(\alpha x)^i. $$ Aquí $\alpha x$ varía sobre el campo cuando $x$ lo hace, por lo que la última suma es simplemente $\sigma_i$. Así que $$ \alpha^i\sigma_i=\sigma_i. $$ Dado que $\alpha^i\neq1$, confío en que hagas el paso deductivo final. :-)

La condición $\alpha^i\neq 1$ se cumple si y solo si $i\not\equiv 0\pmod{p^n-1}$. Si $i$ es un múltiplo de $p^n-1$ tu suma consiste en varios términos iguales a $1$, que es otro caso fácil.