Cómo tomar el derivado de $x!$

Question

Este es el problema que estoy tratando de resolver:

$$ \lim_ {x \to \infty } \frac {e^x x!}{x^x \sqrt {x}}.$$

Creo que esta es una forma indefinida, por lo tanto usa la regla de L'Hospitals.

Pero el problema que tengo es cómo encontrar el derivado de $x!$

Answer 1

Usa la fórmula asintótica de Stirling, $$x! \approx x^x e^{-x} \sqrt {2 \pi x}$$ para $x \gg 1$ .

Answer 2

Deje que $f(x) = \frac {e^x x!}{x^x \sqrt {x}}$ . Luego $ \frac {f(x+1)}{f(x)} = \frac {e^{x+1} (x+1)!}{(x+1)^{x+1} \sqrt {x+1}}/ \frac {e^x x!}{x^x \sqrt {x}} = \frac {e^{x+1} (x+1)!}{(x+1)^{x+1} \sqrt {x+1}} \frac {x^x \sqrt {x}}{e^x x!} = \frac {e (x+1) x^x \sqrt {x}}{(x+1)^{x+1} \sqrt {x+1}} = \frac {e x^x }{(x+1)^x \sqrt {1+1/x}} = \frac {e }{(1+1/x)^x \sqrt {1+1/x}} = \frac {e }{(1+1/x)^{x+1/2}} $ .

Esto y lo que sigue es sólo una réplica de lo que Stirling y los que le precedieron lo hicieron para obtener la "fórmula de Stirling".

En este punto, necesitamos mostrar que $(1+1/x)^{x+1/2}$ está muy cerca de $e$ para los grandes $x$ .

Toma los registros, así que estamos viendo $(x+1/2) \ln (1+1/x) = (x+1/2)(1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) + ... = (1 - 1/(2x) + 1/(3x^2) + ...) + (1/(2x) - 1/(4x^2) + ...) =1 + 1/(12x^2) + ...$ .

Tenga en cuenta que el $1/2$ en $x+1/2$ permite que el $1/x$ plazo para cancelar. Es por eso que $(1+1/x)^{x+c}$ es el más cercano a $e$ para $c = 1/2$ . Para cualquier otro verdadero $c$ , $ \lim \frac {e}{(1+1/x)^{x+c}} = 1$ , Pero el producto de estos términos no cenverge a menos que $c = 1/2$ .

Exponiendo esto, $(1+1/x)^{x+1/2} = e e^{1/(12x^2) + ...} = e(1+1/(12x^2) + ...) $ así que $ \frac {e}{(1+1/x)^{x+1/2}} = \frac {1}{1+1/(12x^2) + ...} = 1-1/(12x^2) + ... $ .

En todo esto, el "..." representa términos de orden superior en $x$ .

Ahora sabemos que la proporción de términos consecutivos es (1) menos de uno (aunque tendríamos que probar que los términos de orden superior son más pequeños que los $1/(12x^2)$ término), y (2) está lo suficientemente cerca de uno que el producto de $1-1/(12x^2)$ converge.

Si miramos a $ \prod_ {x=n}^m (1-1/(12x^2))$ y tomar el tronco, encontramos, por un análisis similar al anterior, la suma de los registros converge como $m \to \infty $ , así que el producto converge.

Ya que el producto $ \frac {f(x+1)}{f(x)}$ converge, $f(x)$ debe tender a un límite. Para mostrar esto, dejemos $P_n = \prod_ {x=n}^{ \infty } \frac {f(x+1)}{f(x)}$ . Luego $P_n = 1/f(n)$ y $ \lim_ {n \to \infty } P_n$ existe.

Esto no es completamente riguroso, pero se puede hacer así, y así fue. Muestra por qué existe el límite.

En realidad, la contribución de Stirling era evaluar explícitamente el límite - se había demostrado previamente que el límite existe.

Este ensayo incoherente se hizo fuera de la en la parte superior de mi cabeza a las 11:30 de la noche. Espero que ayude.

Answer 3

Mientras que los otros métodos nombrados deberían funcionar, lo que creo que es el mejor método es la siguiente propiedad: $lim_{x \rightarrow \infty } \frac {x!}{x^x}=0$ . Esto está en la mayoría de los libros de cálculo, y no es terriblemente difícil de ver, como $x!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots x$ tiene factores x, cada uno menor o igual a x, y $x^x=x \cdot x \cdots x$ tiene factores x, cada uno de ellos al menos tan grande como los del factorial.