Mostrar que hay un cuadrado sin cortar acostado en un cuadrado más grande, cortado por las líneas de

Question

He encontrado este problema en Keith Bola del blog, hace algún tiempo pero nunca he trabajado.

Demostrar que si un cuadrado es cortada por dos líneas (que se muestra arriba en verde), a continuación, hay un cuadrado sin cortar al menos un tercio de las grandes (en rojo) acostado dentro de la original (y alineada con ella).

Si esto es demasiado fácil, intente con tres líneas y un cuadrado sin cortar al menos una cuarta parte como grande como el original.

Mi primera intuición fue el uso de principio del palomar en un $3\times 3$ cuadrícula de cuadrados de igual tamaño, pero claramente se puede elegir un tipo de línea diagonal que pasa a través de cinco plazas. No creo argumentando por los casos es muy elegante y puede no ser la inspiración de la solución al problema. Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Vamos a la gran plaza, en el extremo de la longitud de $3$. Tenga en cuenta que en las cifras de la OP aparecen dos completamente diferentes limitando los casos donde no pequeño cuadrado con lado de longitud $>1$ puede ser colocado. Cualquier prueba que tendrá que incorporar estos casos de alguna manera.

Si no hay líneas de corte puede moverse un pequeño (unidad) de la plaza a lo largo del límite interior de la gran plaza a lo largo de una pista de longitud total $8$. Vamos a demostrar que una sola línea de corte de la $\ell$ deja una parte de la longitud de la $\geq4$ de esta pista disponible para la pequeña plaza. De ello se sigue que dos líneas de corte no puede hacer todos los puntos de la pista no está disponible.

Lugar de la gran plaza, con su centro en el origen. Por simetría, es suficiente para considerar las líneas de corte $\ell$ dado por una ecuación de la forma$y=\tan\alpha \cdot x+c$$0\leq\alpha\leq{\pi\over4}$$c\geq0$. Tal línea de $\ell$ cortará $n\in\{0,1,2\}$ poco casillas de las esquinas (sombreado gris en las cifras anteriores). El caso de $n=0$ no está dibujada; la parte superior de dos cifras muestran el caso de $n=1$, y el menor de dos cifras muestran el caso de $n=2$. Se puede comprobar con facilidad que, en cada caso, la rosa de plazas se puede mover libremente a lo largo de un total de longitud de la pista de $\geq4$.