La medida de una clase conjugacy en un grupo compacto

Question

Supongamos $G$ es un grupo compacto dotado de medida de Haar $\mu$. Si $g \in G$, después denotar por $g^G$ la clase conjugacy de $g$$G$.

Hay algo que puede decirse, en general, acerca de la $\mu(g^G)$?

Si no, hay más restricciones que podemos poner a $G$ a fin de garantizar que nos puede decir algo?

Gracias.

Answer 1

Algunas pequeñas observaciones: Si $G$ está conectado a un grupo Mentira, a continuación, $g^{G}$ es una variedad de dimensión inferior de $G$, por lo tanto, de medir el $0$.

Si $G$$O(2)$, el grupo de $2 \times 2$ ortogonal de matrices, entonces topológicamente $O(2) \cong S^1 \sqcup S^1$, con un círculo las rotaciones y el otro era el de las reflexiones. Cualquiera de los dos reflexiones son conjugado a cada uno de los otros, por lo que esta clase conjugacy tiene una medida de $1/2$.

Aunque técnicamente no cumple con la descripción de su pregunta, usted podría estar buscando la Weyl integral de la fórmula. Deje $K$ ser un equipo compacto conectado Mentira grupo, con la máxima torus $T$ y el grupo de Weyl $W$, por lo que las clases conjugacy de $K$ se dan por $T/W$. Deje $U$ ser un pequeño barrio en $T/W$. Weyl integración indica el volumen del subconjunto de $K$ cuyas clases conjugacy mentira en $U$. Aquí es un ejemplo de los físicos en notación: El conjunto de matrices en $SU(2)$ cuya clase conjugacy es $\left( \begin{smallmatrix} e^{i \alpha} & 0 \\ 0 & e^{-i\alpha} \end{smallmatrix} \right)$ $\alpha$ $\theta$ $\theta + d \theta$ volumen $\sin^2 \theta \ d \theta$.