El problema 5-6 de la obra de Michael Spivak Cálculo sobre Múltiples lee:
Si $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ El gráfico de $f$ es $\{(x,y):y=f(x)\}$ . Demuestre que la gráfica de $f$ es un $n$ -si y sólo si $f$ es diferenciable.
(aquí colector significa realmente submanifold, &c, y generalmente la declaración tiene que ser leída en el contexto del libro, por supuesto)
Ahora bien, esta afirmación sufre de contraejemplos: por ejemplo, la gráfica de la función $f:t\in\mathbb R\mapsto t^{1/3}\in\mathbb R$ es un submanifold.
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Sólo tengo acceso a una impresión de la edición original del libro: ¿alguien sabe por casualidad si las nuevas ediciones tienen la declaración cambiada?
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Puedo demostrar la afirmación si la cambio para que diga "el gráfico $\Gamma$ de $f$ es un $n$ -y el diferencial del mapa $\Gamma\to\mathbb R^n$ dada por la proyección sobre la primera $n$ componentes tiene un rango máximo en todas partes si y sólo si &c". Esta parece una hipótesis bastante fuerte: ¿se te ocurre alguna más débil que siga dando una afirmación verdadera sensata? (No me gusta esta hipótesis porque en ese punto del libro todavía no se dispone del diferencial)
Más tarde. MathSciNet me dice que hay una traducción al ruso. ¿Tal vez alguno de nuestros amigos rusos del sitio pueda decirme si el problema está ahí también? La traducción al ruso tradicionalmente incluye algunos arreglos, irrc :)
