Deseo comprender la noción de `Gass-Manin conexión". Tengo una cierta comprensión de la geometría diferencial, topología y la geometría algebraica. ¿Dónde debo empezar? SI las fuentes están disponibles libremente, que va a ser bueno. Incluso mejor será si alguien puede dar un poco de motivación para el concepto. Mi objetivo es entender en el contexto de los módulos de curvas.
Respuesta
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Josh
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Algunas referencias básicas, en ningún orden en particular:
- Atiyah, Hirzebruch - las Integrales del segundo tipo en una variedad algebraica
- Grothendieck - En el de Rham cohomology de variedades algebraicas
- Katz - En las ecuaciones diferenciales satisfecho por el período de matrices
- Katz, la Aod En la diferenciación de De Rham cohomology clases con respecto a los parámetros de
- Manin - curvas Algebraicas sobre los campos con la diferenciación (en ruso)
- Griffiths - Períodos en las integrales sobre algebraicas colectores
La idea básica detrás de la de Gauss-Manin conexión es en realidad muy simple. Supongamos que $f: X \to B$ es un buen mapa entre colectores, con $\dim X > \dim B$. A continuación, de forma genérica, las fibras de $X_b := f^{-1}(b)$ son suaves compacto colectores, y además por la Ehresmann fibration teorema de ellos será diffeomorphic (siempre que el conjunto de regular los valores de $B_{reg} \subseteq B$ está conectado). En particular, se han isomorfo homología y cohomology.
Ahora supongamos que $\alpha \in \Omega^k(X)$ de manera tal que la restricción $i_b^\ast \alpha \in \Omega^k(X_b)$ es cerrado. Entonces esto le da a una familia de cohomology clases: $[i_b^\ast \alpha] \in H^k(X_b)$. Deje $b_1, \ldots, b_n$ ser un conjunto de coordenadas locales en $B$. Luego de considerar las clases de la forma $$ \left[ i_b^\ast \left(\frac{\partial^{i_1+\cdots+i_n} \alpha}{\partial b_1^{i_1} \cdots \partial b_n^{i_n} } \right)\right] \in H^k(X_b) $$ Tomando más y más derivados, si es necesario, con el tiempo el número de clases de esta forma se exceda el $k$ésimo número de Betti de $X_b$. Entonces, necesariamente, alguna combinación lineal de estas clases debe ser igual a cero, es decir, la familia de clases de $[i_b^\ast \alpha]$ satisface lineal de la PDE. Este es el PDE codificada por el de Gauss-Manin conexión.
