Extensiones de homomorfismos sobre extensiones de anillos finitos

Question

Sea $A \subset B$ sea una extensión de anillo finito. Fijar un homomorfismo de anillo $\nu : A \to \Omega$ donde $\Omega$ es un campo algebraicamente cerrado.

1. Quiero demostrar que existe un homomorfismo distinto de cero $v : B \to \Omega$ de $A$ -módulos.

2. Quiero demostrar que el espacio $V$ de todos los homomorfismos $v$ en (i) es un espacio vectorial de dimensión finita distinto de cero sobre $\Omega$ . Demuestre que el álgebra $B$ actúa en este espacio. Demostrar que los vectores propios de esta acción corresponden a homomorfismos de álgebras $\lambda : B \to \Omega$ que extienden el homomorfismo $\nu$ . Deducir que el conjunto de tales homomorfismos $\lambda : B \to \Omega$ es finito y no vacío.

Podemos suponer que $B = Ab_1 + ... + Ab_n$ donde $b_1,...,b_n \in B$ . Los elegidos $v(b_i)=\omega_i \in \Omega-\{0\}$ y luego definir $$ v( a_1 b_1 + ... + a_n b_n ) = \nu(a_1) v(b_1) + ... + \nu(a_n) v_n = \nu(a_1) \omega_1 + ... + \nu(a_n) \omega_n \ .$$ Se trata de un $A$ -homomorfismo de módulo. ¿Estoy en lo cierto?

Para la segunda parte, que $V$ es distinto de cero se deduce de la primera parte. Que es de dimensión finita se deduce del hecho de que $v_i(b_j)=\delta_{i,j}$ (delta de Kronecker) con $i=1,...,n$ abarca $V$ y por lo tanto $\dim V \le n < \infty$ .

Defino la acción de $B$ en $V$ ser $$b \bullet v = \left( x \mapsto v(b)v(x) \right) \mbox{ for all } b,x \in B \ .$$ Esta parece ser la acción natural a definir. ¿Estoy en lo cierto?

Sin embargo, no he conseguido resolver el resto (lo de los vectores propios y la relación con $\nu$ ).

Answer 1

Sea $A \subset B$ sea una extensión de anillo finito. Fijar un homomorfismo de anillo $\sigma : A \to \Omega$ donde $\Omega$ es un campo algebraicamente cerrado. Demostrar que hay al menos uno, pero finitamente muchos homomorfismos de anillo $\overline{\sigma}: B \to \Omega$ que se extienden $\sigma$ .

Existencia. No necesitamos suponer que la extensión del anillo es finita. Basta con que sea integral (véase el ejercicio 2, capítulo 5, de Atiyah y MacDonald). Sea $\mathfrak p=\ker\sigma$ . Se trata de un ideal primo de $A$ y existe un ideal primo $P$ de $B$ tumbado $\mathfrak p$ Eso es, $P\cap A=\mathfrak p$ . Así que tenemos una extensión integral de dominios integrales $A/\mathfrak p\subset B/P$ . Desde $A/\mathfrak p\to\Omega$ es inyectiva y cada elemento no nulo de $A/\mathfrak p$ es invertible en $\Omega$ podemos extenderlo a un homomorfismo $Q(A/\mathfrak p)\to\Omega$ . Pero $Q(A/\mathfrak p)\subset Q(B/P)$ es una extensión de campo algebraico y entonces podemos extender $Q(A/\mathfrak p)\to\Omega $ a $Q(B/P)\to\Omega$ . La ampliación de $\sigma$ lo que buscamos es $B\to B/P\to Q(B/P)\to\Omega$ .

Finitud. Ahora bastan dos observaciones para demostrar que sólo hay un número finito de extensiones de $\sigma$ cuando $A\subset B$ es finito. La primera es la siguiente: si $A\subset B$ es finito, entonces sólo hay un número finito de ideales primos de $B$ tumbado $\mathfrak p$ . La segunda proviene de la teoría de campos y dice que para una extensión de campo finito $K\subset L$ y un homomorfismo $\sigma:K\to\Omega$ donde $\Omega$ es un campo algebraico cerrado, sólo hay un número finito de extensiones de $\sigma$ a $L$ .

Answer 2

$1.$ No es necesario suponer que la extensión del anillo es finita; basta con que sea integral. En este caso tu pregunta es el ejercicio 2, capítulo 5, de Atiyah y MacDonald, y obtienes un homomorfismo de anillo $v:B\to\Omega$ que amplía $\nu$ .

Obsérvese que un homomorfismo de $A$ -módulos $v:B\to\Omega$ cumple la regla $v(ab)=\nu(a)v(b)$ para todos $a\in A$ et $b\in B$ . En particular, un homomorfismo de anillo que extienda $\nu$ también lo hace.

Observación. En este momento no veo una forma directa de demostrar la existencia de un homomorfismo de $A$ -módulos $B\to\Omega$ .

$2.$ $V$ es una dimensión finita $\Omega$ -vectorspace: tomar $b_1,\dots,b_n\in B$ que genera $B$ como $A$ -módulo. Entonces definimos $\phi:V\to\Omega^n$ , $\phi(v)=(v(b_1),\dots,v(b_n))$ . Se trata de un homomorfismo inyectivo de $\Omega$ -por lo que $\dim_{\Omega}V\le n$ .

Edita. El OP aportó algunas explicaciones nuevas y éstas me permiten terminar la prueba.

Definir una acción de $B$ en $V$ (como lo hizo) por $b \bullet v = v_b, \mbox{ where } v_b(x)=v(bx) \mbox{ for all } b,x \in B$ . Esto da lugar a una familia $(\varphi_b)_{b\in B}$ de endomorfismos conmutativos de la $\Omega$ -vectorspace $V$ donde $\varphi_b(v)= b \bullet v$ . En álgebra lineal sabemos que una familia de endomorfismos conmutativos de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado tiene un vector propio común. Por tanto, existe $v\in V$ tal que $\varphi_b(v)=\lambda_b v$ para cualquier $b\in B$ donde $\lambda_b\in\Omega$ es un escalar que depende de $b$ . En $\varphi_b(v)=\lambda_b v$ obtenemos $v(bx)=\lambda_bv(x)$ para todos $b,x\in B$ y tomando $x=1$ obtenemos $\lambda_b=v(1)^{-1}v(b)$ y, por lo tanto $v(bx)=v(1)^{-1}v(b)v(x)$ para todos $b,x\in B$ . (Tenga en cuenta que $v(1)\neq 0$ de lo contrario $v=0$ y esto es falso). Aunque $v$ no es un homomorfismo de anillo, después de reescalar podemos obtener uno: define $w:B\to\Omega$ por $w(b)=v(1)^{-1}v(b)$ y compruebe que $w$ es un homomorfismo de anillo que extiende $\nu$ .

A la inversa, cualquier homomorfismo de anillo $B\to\Omega$ que amplía $\nu$ es un vector propio común de la familia $(\varphi_b)_{b\in B}$ .

Así que tenemos al menos uno, pero finitamente muchos homomorfismos de anillo $B\to\Omega$ que se extienden $\nu$ .