¿Por qué la gente ajusta los polinomios?

Question

¿Podría alguien explicar la justificación y los límites del ajuste de polinomios a puntos de datos arbitrarios? Es decir, ¿qué pasa con las raíces cuadradas o las potencias fraccionarias o inversas? La mayoría de las veces que alguien quiere mejorar un ajuste lineal, prefiere incluir términos cuádricos que cualquier otra cosa.

¿Se te ocurre alguna justificación matemática por la que se favorezcan las potencias simples? Supongo que podría estar relacionado con las series de Taylor de aproximación de funciones.

Supongamos que quiero incluir potencias fraccionarias, ¿tendría más sentido incluir $x^a$ o $x^{0.5}+a\cdot x^{1.5}$ para los "datos comunes del mundo real".

¿O los polinomios racionales lo hacen mejor y prefiero probar estos primero?

Tal vez alguien pueda elaborar el poder de estos métodos para aproximar una función desconocida en los datos.

Answer 1

La propia raíz cuadrada se aproxima con funciones polinómicas ver aquí (por ejemplo, para los cálculos), por lo que los polinomios son aquí un poco más "fundamentales".

Por el Teorema de Stone-Weierstrass toda función continua definida en un intervalo cerrado [a,b] puede ser aproximada uniformemente con la precisión deseada por una función polinómica .

Para la cuadratura numérica la integral definida de polinomios es exacta, por lo que si aproximas tu función con polinomios el único paso en el que se producen errores de aproximación es la aproximación polinómica...

Sin embargo, los polinomios no son la única base adecuada para aproximar funciones continuas. Por ejemplo $\sin(nx)$ y $\cos(nx)$ son muy populares. Además, si las funciones son continuas pero tienen valores no diferenciables, las ondículas son una alternativa más moderna...

EDIT: en cuanto al ajuste de puntos... no, los polinomios no suelen ser la mejor opción. Para los puntos, la función a ajustar depende en gran medida de su dominio del problema. Por ejemplo, si los puntos representan el crecimiento de la población, normalmente se ajustan funciones exponenciales. También es importante el número de dimensiones de los datos. Los problemas de ajuste de puntos de alta dimensión (o de agrupación o separación de puntos, etc.) van más en la dirección del aprendizaje automático que de la aproximación...

Answer 2

Hay muchos resultados teóricos que nos dicen que la aproximación por polinomios funciona bien para varias clases de funciones, e incluso nos dicen cuál será el máximo error de aproximación. Por ejemplo, está el teorema de Stone-Weiertrass mencionado en la otra respuesta, además de los teoremas de "Jackson" y muchos otros en la aproximación constructiva: http://en.wikipedia.org/wiki/Constructive_function_theory

Existen algoritmos rápidos, fiables y fáciles de implementar para calcular las aproximaciones. Para algunos buenos ejemplos, mira el sistema Chebfun, que básicamente lo hace todo calculando aproximaciones polinómicas de alto grado: http://www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/

Una vez que tienes un polinomio, es relativamente fácil (y barato) calcular los valores de la función, las derivadas, las integrales, los ceros, los límites, etc. Una vez más, consulte Chebfun para ver ejemplos.

En algunos campos (como el diseño asistido por ordenador), las formas polinómicas se consideran "estándar", y utilizar cualquier otra cosa causa problemas de intercambio de datos.

Las aproximaciones racionales a veces funcionan mejor que las polinómicas (en el sentido de que se obtiene un error menor sin aumentar los grados de libertad del aproximante). Pero las aproximaciones racionales óptimas son mucho más difíciles de calcular y, una vez que las tienes, son más difíciles de manejar (más difíciles de integrar, por ejemplo).

La aproximación polinómica no es siempre la mejor opción (nada lo es), pero a menudo es bastante buena, y es una cosa razonable para probar a menos que la naturaleza de su problema específico sugiera algo diferente.