que es más grande $I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{(\sin{x})}dx,I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{(\sin{x})}dx$

Question

Dejar

$$I_{1}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\cos{(\sin{x})}dx,I_{2}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sin{(\sin{x})}dx$$

$I_{1}$ y $I_{2}$ ¿cuál es más grande? Espero ver más métodos agradables, gracias

solución 1 :

nota esto $$\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}f(\sin{x})dx=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}f(\cos{x})dx$$

así que $$I_{2}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sin{(\sin{x})}dx=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sin{(\cos{x})}dx$$

desde $$\sin{(\cos{x})}<\cos{x}<\cos{(\sin{x})}$$ porque $$\sin{x}<x$$ así que $$I_{1}>I_{2}$$

solución 2 $$\cos{(\sin{x})}>1-\dfrac{\sin^2{x}}{2},\sin{(\sin{x})}\le x$$

así que $$\cos{(\sin{x})}-\sin{(\sin{x})}>1-\dfrac{\sin^2{x}}{2}-x$$ así que $$I_{1}-I_{2}>\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\left(1-x-\dfrac{\sin^2{x}}{2}\right)dx>0$$

Answer 1

Esto es un poco inelegante, pero aquí hay otro enfoque.

Un cambio de variables lleva a

$$I_1-I_2 = \int_0^1 {\cos u-\sin u\over\sqrt{1-u^2}}du$$

La función que se integra es positiva para $0\lt u\lt \pi/4$ y negativo para $\pi/4\lt u\lt 1$ . Así, para demostrar que $I_1\gt I_2$ basta con demostrar que

$$\int_0^{\pi/4} {\cos u-\sin u\over\sqrt{1-u^2}}du\gt \int_{\pi/4}^1 {\sin u-\cos u\over\sqrt{1-u^2}}du$$

donde las integradas ahora son ambas positivas en sus respectivos intervalos.

Tenemos

$$\int_0^{\pi/4} {\cos u-\sin u\over\sqrt{1-u^2}}du\gt \int_0^{\pi/4}(\cos u-\sin u)du = (\sin u+\cos u)\big|_0^{\pi/4}=\sqrt2-1\approx0.4141$$

mientras que

$$\begin{align} \int_{\pi/4}^1 {\sin u-\cos u\over\sqrt{1-u^2}}du&\lt (\sin(1)-\cos(1))\int_{\pi/4}^1 {1\over\sqrt{1-u^2}}du\cr &=(\sin(1)-\cos(1))(\arcsin(1)-\arcsin(\pi/4))\cr &\approx0.2010 \end{align}$$

Tenga en cuenta que, como $1\lt\pi/3$ y $\pi/4\gt1/\sqrt2$ se podría obtener más crudamente

$$\begin{align} (\sin(1)-\cos(1))\int_{\pi/4}^1 {1\over\sqrt{1-u^2}}du&\lt(\sin(\pi/3)-\cos(\pi/3))(\arcsin(1)-\arcsin(1/\sqrt2))\cr &=\left({\sqrt3-1\over2} \right)\left({\pi\over2}-{\pi\over4} \right)\cr &\approx0.2875 \end{align}$$

En cualquier caso, se confirma la desigualdad requerida.

Answer 2

Calculando estos con error relativo $10^{-3}$ en Maple, obtenemos $$int(cos(sin(x)), x = 0 .. (1/2)*Pi, numeric, epsilon = 10^{-3}); $$ $$ 1.201969715$$ y $$int(sin(sin(x)), x = 0 .. (1/2)*Pi, numeric, epsilon = 10^{-3}) $$ $$ 0.8932437411 .$$

Answer 3

Utilizando la representación integral de Bessel y Struve funciones, tiene

$$I_1 - I_2 = \frac{\pi}{2}J_0(1)- \frac{\pi}{2}\mathbf{H}_0(1) \approx 0.308725974342$$