suma ponderada de variables aleatorias de indicador independiente

Question

Estoy tratando de probar la siguiente afirmación:

Deje $v \in \mathbb R_{\ge 0}^n$ tal que $||v||_1 = 1$ (es decir, $\sum_{i=1}^n v_i = 1$) and let $w \in \{0, 1\}^n$ ser un vector aleatorio, de modo que cada una de las $w_i$ $1$ con una probabilidad de $\frac{1}{3}$ $0$ con probabilidad de $\frac{2}{3}$ con todas las opciones de ser independiente.
A continuación, $\mathrm {Pr}(w \cdot v \ge 1/3) \ge \frac{1}{3}$

Sé que por la linealidad de la expectativa de que $E[w \cdot v] = 1/3$, por lo que parece muy intuitiva.
El resultado es obvio para $v=(1, 0, 0, \ldots ,0)$ pero no estoy seguro de cómo probar para el caso general.

Answer 1

Pensar en ¿qué pasa si usted toma tres vectores aleatorios $w^1,w^2,w^3$, cada uno apoyado en una parte diferente de su probabilidad de espacio. Desde su suma es siempre de 1 de cada coordinar, al menos uno de ellos debe satisfacer : $<w^i,v>\ \geq\ \frac{1}{3}$

EDITAR: Como algunas personas mal entendido a lo que me refería yo estoy escribiendo aquí una prueba plena:

Deje $X_1,X_2,...,X_n$ ser uniforme Rvs en $[0,1]$. Nos muestra $w^1,w^2,w^3$ como sigue:

Declarar la i-esima coordenada de $w^1$ $1$ fib $X_i\leq\frac{1}{3}$, la i-esima coordenada de $w^2$ $1$ fib $\frac{1}{3}<X_i\leq\frac{2}{3}$ y la i-esima coordenada de $w^3$ $1$ lo contrario. Claramente la distribución de todos los tres de ellos como se define en la pregunta, y $w^1+w^2+w^3=(1,1,...,1)$ siempre. Por lo tanto, tenemos que $\mathbb{P}(<w^1+w^2+w^3,v>\ =\ 1)=1$. Desde el interior del producto es lineal, y el hecho de que una suma de tres números es $1$ implica que uno de ellos es, al menos, $\frac{1}{3}$ hemos $\mathbb{P}(\exists i.\ <w^i,v>\ \geq \frac{1}{3})=1$. De la unión vinculados esto implica que al menos uno de ellos tiene probabilidad de al menos $\frac{1}{3}$ al menos $\frac{1}{3}$, pero dado que tienen la misma distribución es cierto para todos los tres de ellos.