Ejemplo: satisfacción de $E(X_{n+1}\mid X_n)=X_n$ pero no una martingala

Question

Me pregunto si existe tal secuencia de variables aleatorias $(X_n)_{n=0}^\infty$, que $\mathbb{E}(X_{n+1}\mid X_n)=X_n$ % todo $n\geq0$pero que no es una martingala con respecto a la filtración $\mathcal{F_n}=\sigma(X_0, \dots, X_n)$.

Realmente apreciaría si usted me podría mostrar un ejemplo.

Answer 1

Deje $(Y_j)_{j \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de idénticamente distribuidas independiente de variables aleatorias tales que $\mathbb{E}Y_j=0$. Para algunos fijos $N \in \mathbb{N}$ definimos

$$\begin{align*} X_n &:= \sum_{j=1}^n Y_j \qquad \text{for all} \, \, n \leq N \\ X_{n} &:= \sum_{j=1}^N Y_j + Y_1 - Y_2 = X_N+ Y_1-Y_2 \qquad \text{for all} \, \, n >N. \end{align*}$$

Para$n \leq N$$n>N+1$, la condición

$$\mathbb{E}(X_{n} \mid X_{n-1}) = X_{n-1}$$

es obviamente satisfecho. Para $n=N+1$, tenemos

$$\mathbb{E}(X_{N+1} \mid X_N) = X_N + \mathbb{E}(Y_1 \mid X_N) - \mathbb{E}(Y_2 \mid X_N). $$

Desde $(Y_j)_{j \in \mathbb{N}}$ es idénticamente distribuidas e independientes, tenemos

$$\mathbb{E}(Y_1 \mid X_N) = \mathbb{E}(Y_2 \mid X_N)$$

y por lo tanto

$$\mathbb{E}(X_{N+1} \mid X_N) = X_N.$$

Por otro lado,

$$\begin{align*} \mathbb{E}(X_{N+1} \mid \mathcal{F}_N) &=X_N + 2\underbrace{\mathbb{E}(Y_1 \mid \mathcal{F}_N)}_{\mathbb{E}(X_1 \mid \mathcal{F}_N)=X_1} - \underbrace{\mathbb{E}(Y_1+Y_2 \mid \mathcal{F}_N)}_{\mathbb{E}(X_2 \mid \mathcal{F}_N) = X_2} \\ &= X_{N+1} \neq X_N. \end{align*}$$

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La intuición: es ampliamente conocido que el proceso de

$$S_n := \sum_{j=1}^n Y_j$$

puede ser utilizado para el modelo de un juego justo; el resultado de la $j$-th ronda está dado por $Y_j$. Ahora vamos a cambiar las reglas de nuestro (justo) juego: Después de $N$ rondas el juego está detenido; en el final de la ronda el jugador obtiene el resultado de la primera ronda, pero se pierde el resultado de la segunda ronda. Hay dos casos:

• El jugador está muy borracho y se ha olvidado ya de los resultados de las dos primeras rondas. En este caso, desde el punto de vista de nuestra borracho jugador, el (cambiado) juego es justo - se parece a otra de las dos rondas de nuestro (original) de juego.
• Si el jugador todavía está sobrio, luego recuerda que el resultado de las dos primeras rondas y se puede calcular el resultado de la ronda final de forma explícita (no hay azar, dada la información hasta el momento de $N$!), es decir, $$\mathbb{E}(X_{N+1} \mid \mathcal{F}_N) = X_{N+1}.$$

Answer 2

Recuerde que en la definición de martingala debe tener $E|X_n| < \infty$.

Por lo tanto, es suficiente para tomar una secuencia que no el primer momento. Poner $X_n = X$ $X$ en que sigue una distribución de Cauchy. Que satisfacer su condición, trivial, pero no es una martingala, porque no tienen el primer momento.