Pregunta fácil de sumas dobles: $\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(m+n)!}$

Question

Cómo calcular $\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(m+n)!} $ ?

No sé cómo enfocarlo . Por favor, ayuda :)

P.D. Soy nuevo en el tema de las sumas dobles y no encuentro buenas fuentes para estudiarlo, ¿alguien puede ayudarme?

Answer 1

Es lo mismo que $$ \sum_{m=1}^\infty \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k!} $$ Podemos reordenar los términos, observando que para cada valor de $k$ sólo habrá condiciones con $k > m$ . Existen $k-1$ valores posibles de $m$ que satisfagan $k>m$ . Así que $$ \sum_{m=1}^\infty \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k-1}{k!} $$ El último truco es observar que será mucho más fácil sumar $\frac{k}{k!}$ así que rompe el numerador: $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{k-1}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{k!} - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k-1)!}- \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} $$ Y esto a su vez es $$ \frac{1}{0!} + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-1)!} - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} = 1 +\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j!} - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} $$ Hasta ahora, sólo ha habido reordenación de términos. Ahora observamos que $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}$ es absolutamente convergente, por lo que la reordenación de los términos es válida; y las sumas de las torres que quedan se cancelan, por lo que la respuesta es $$1 $$

Answer 2

$$\sum_{m,n=1}^{+\infty}\frac{1}{(m+n)!}=\sum_{h\geq 2}\frac{f(h)}{h!}$$ donde: $$ f(h)=\#\left\{(m,n)\in\mathbb{N}_{\geq 1}^2:m+n=h\right\}=h-1 $$ por lo tanto: $$\sum_{m,n=1}^{+\infty}\frac{1}{(m+n)!}=\sum_{h\geq 2}\frac{h}{h!}-\sum_{h\geq 2}\frac{1}{h!}=\sum_{h\geq 1}\frac{1}{h!}-\sum_{h\geq 2}\frac{1}{h!}=\color{red}{1}.$$

Answer 3

Sugerencia :

En condiciones "agradables" tenemos:

$$\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a_{m+n}=\sum_{k=2}^{\infty}\left(k-1\right)a_{k}$$

Answer 4

\begin{align} &\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac1{(m+n)!}\\ =& \sum_{n=1}^\infty \frac1{(1+n)!} + \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2+n)!} + \sum_{n=1}^\infty \frac1{(3+n)!} + \dots\\ =&\vphantom{+}\frac1{2!} + \frac1{3!} + \frac1{4!} + \frac1{5!} + \dots\\ &+\frac1{3!} + \frac1{4!} + \frac1{5!} + \frac1{6!} + \dots\\ &+\frac1{4!} + \frac1{5!} + \frac1{6!} + \frac1{7!} + \dots \end{align}

Sumemos y restemos $\sum\limits_{j=1}^\infty \frac1{j!}$ . No cambia la suma y es más fácil de sumar.

\begin{align*} =&\left(\frac1{1!}+\color{red}{\frac1{2!}}+\color{green}{\frac1{3!}}+\color{blue}{\frac1{4!}}+\dots\right.\\ &+\color{red}{\frac1{2!}}+\color{green}{\frac1{3!}}+\color{blue}{\frac1{4!}}+\frac1{5!}+\dots\\ &+\color{green}{\frac1{3!}}+\color{blue}{\frac1{4!}}+\frac1{5!}+\frac1{6!}+\dots\\ &+\color{blue}{\frac1{4!}}+\frac1{5!}+\frac1{6!}+\frac1{7!}+\dots\\ &\left.\vphantom{\frac12}+\dots\right)\\ &-\frac1{1!}-\frac1{2!}-\frac1{3!}-\frac1{4!}-\dots\\ &=\left(1+\color{red}{\frac1{1!}}+\color{green}{\frac1{2!}}+\color{blue}{\frac1{3!}}+\dots\right)-\left(\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\dots\right)=\boxed{1} \end{align*}

Espero que le sirva de ayuda. Sé que la suma y la resta $\sum\frac1{j!}$ salió de la nada, pero funciona.