$H$ Es subgrupo normal

Question

Trato de demostrarlo, pero no puedo. ¿Por favor decir verdadero o falso?

Dejar un grupo $G=G_1\times G_2$, es decir, $G$ es producto directo de $G_1$ $G_2$.

Si $H$ es a subgrupo normal de $G$, entonces sea producto directo de $H$ $H_1$ $H_2$, $H_1$, $H_2$ son subgrupos normales $G_1$ y $G_2$, ¿no es?

Answer 1

No, eso no es necesariamente cierto. El error de pensar que debe ser verdad a veces se llama la "falacia Diagonal". Tomar $G_1 = G_2 = \mathbb{R}$ bajo adición y pensar por qué se podría llamar tal cosa.

Answer 2

Teorema Si $N \unlhd G_1 \times G_2$, entonces cualquiera de las $N \subseteq Z(G_1 \times G_2)$ o $N$ cruza uno de los factores $G_1$ o $G_2$ no trivialmente.

Prueba. Suponga que $N \cap (G_1 \times$ {$1$}$)$ = {$(1,1)$} = $N \cap $({$1$} $\times$ $G_2)$. Vamos a mostrar que N está contenida en el centro de la $G_1 \times G_2$. Revisión arbitraria $(n_1,n_2) \in N$. Deje $g_1 \in G_1$. Desde $N$ es normal, $(g_1,1)^{-1}·(n_1,n_2)·(g_1,1) = (g_1^{-1}n_1g_1, n_2) \in N.$ Obviamente $(n_1,n_2)^{-1} = (n_1^{-1},n_2^{-1}) \in N$. De ello se sigue que el producto $(n_1^{-1},n_2^{-1})·(g_1^{-1}n_1g_1, n_2) = (n_1^{-1}g_1^{-1}n_1g_1, 1) \in N$. Sin embargo, $N$ cruza $G_1 \times$ {$1$} trivialmente, de donde $n_1^{-1}g_1^{-1}n_1g_1 = 1$, $n_1$ viajes con todos los $g_1 \in G_1$. Del mismo modo, $n_2$ viajes con todos los $g_2 \in G_2$. Esto significa que $(n_1,n_2) \in Z(G_1) \times Z(G_2) = Z(G_1 \times G_2)$. $\square$

Answer 3

Contraejemplo:

$$H:=\{(0,0)\,,\,(1,1)\}\triangleleft \Bbb Z_2\times\Bbb Z_2 $$