Los valores propios de $\sum_i A_i P_i$ con $(A_i)_{jk}=\delta_{ij}\delta_{ik}$ y $P_i$ proyecciones ortogonales

Question

Supongamos que $$C=\sum_{i=1}^nA_iP_i$$ donde cada $P_i$ es un $n\times n$ matriz de proyección ortogonal ( $P_i=P_i^\top$ y $P_i=P^2_i$ ) y $A_i$ es un $n\times n$ matriz de elementos nulos excepto el $(i,i)$ -elemento igual a uno.

¿Puedo decir algo sobre los valores propios de $C$ ?

Answer 1

La matriz $A_iP_i$ es una matriz que contiene muchos ceros, y su $i$ -es igual a la $i$ -en la fila de $P_i$ . Es decir, la matriz resultante tiene todas las filas con norma euclidiana igual a $1$ . Esto implica $\|C\|_2 \le \sqrt n$ : $$ \|Cx\|_2^2 =\sum_i (c_i^Tx)^2\le \sum_i \|c_i\|^2 \|x\|^2 = n \|x\|^2, $$ donde $c_i$ es el $i$ -en la fila de $C$ . Este límite se realiza si todas las filas de $C$ son iguales hasta los factores con valor absoluto $1$ .

Esto demuestra que todos los valores propios de $C$ están en el círculo $\{z\in \mathbb C:\ |z|\le \sqrt n\}$ . Este límite es agudo ya que la matriz $C=(c_{ij})$ con $c_{ij}=\frac1{\sqrt n}$ espectáculos.

Utilizando el teorema de Gershgorin, se pueden demostrar inclusiones para los valores propios. El radio del círculo de Gershgorin $i$ puede estimarse mediante $$ \sum_{j\ne i} |c_{ij}| \le \sqrt{n-1} \left(\sum_{j\ne i} |c_{ij}|^2 \right)^{1/2} = \sqrt{(n-1)(1-|c_{ii}|^2)}. $$ Entonces los valores propios de $C$ están dentro de los círculos con centro $c_{ii}$ y el radio como en el caso anterior. Si se sabe más sobre las entradas de $C$ El límite se puede mejorar.