El título lo dice básicamente: ¿hay algún topoi finito (es decir, conjunto finito de objetos, hom-objetos finitos) que no sea $\textbf{1}$ (la categoría terminal) y $\textbf{2}$ (la categoría $\ast \rightarrow \ast$ )? Si es así, ¿se han clasificado?
Respuesta
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Dejemos que $C$ sea una categoría con productos finitos. Si $C$ tiene objetos $c, d$ de manera que haya al menos $2$ morfismos $c \to d$ entonces hay al menos $2^k$ morfismos $c \to d^k$ y se deduce que $C$ tiene infinitos morfismos. Concluimos que si $C$ es una categoría finita con productos finitos, entonces hay como máximo un morfismo entre cualquier par de objetos, y por tanto $C$ es un pedido previo.
Ahora dejemos que $C$ sea un preorden con un objeto terminal y un clasificador de subobjetos $\Omega$ . Dado que existe como máximo un morfismo $1 \to \Omega$ del objeto terminal a $\Omega$ , existe a lo sumo una clase de equivalencia de monomorfismos con el objeto terminal. Pero en un preorden, el conjunto de clases de equivalencia de monomorfismos con el objeto terminal es precisamente el conjunto de clases de isomorfismo de los objetos, y se deduce que $C$ tiene como máximo una clase de isomorfismo de objeto.
En particular, $2$ no es un topos finito. El único topos finito, hasta la equivalencia, es $1$ .
